发布时间 : 星期三 文章三年级下册数学试题-奥数专题讲练：第五讲 周期问题 精英篇(解析版)全国通用更新完毕开始阅读
第五讲 周期问题【精品】
教学目标 本讲主要学习解答周期问题的方法，教师通过例题的讲解以及生活中的一些实际问题，使学生掌握 解决周期问题的一般思路与方法，重点强调余数的作用．
知识点：1．图形中的周期问题；
2．数列中的周期问题； 3．年月日中的周期问题．
想挑战吗？如图，8 个小朋友围成一圈做传球游戏，从 1 号小朋友开始按照箭头方向向下一个人传球，在传球的同时按自然数列报数，当报到 96 时，球在几 号小朋友手上？ 1 8 7 6 5 4 2 3
分析：把 8 个小朋友看成一个周期，按自然数从小到大 8 个数的顺序重复排列，根据这个 数除以 4 的余数来判断．96÷8=12，所以当报到 96 时，球在 8 号小朋友手上．
我们知道，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天．年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化．一年还有 12 个月，从一月开始，一月、二月、三月、……、十二月；每周有七天，从 星期一开始，星期一、星期二、……、星期日．在日常生活中有许多类似这样重复出现的现象，一些数、图形的变化也是周而复始的循环出现的， 我们把这种特殊的规律性问题称为周期问题．让我们开始学习吧！
专题精讲
解答周期问题的关键是找规律，找出周期．确定周期后，用总量除以周期，如果正好有整数个周期，结果就为周期里的最后一个；
例如：1，2，1，2，1，2，…那么第 18 个数是多少？
这个数列的周期是 2，18÷2=9，所以第 18 个数是
2． 如果比整数个周期多 n 个，那么为下个周期里的第 n 个；
例如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第 16 个数是多少？
这个数列的周期是 3，16÷3=5…1，所以第 16 个数是 1．
如果不是从第一个开始循环，可以从总量里减掉不是循环的个数后，再继续算． 例如：1，2，3，2，3，2，3，…那么第 16 个数是多少？ 这个数列从第二个数开始循环，周期是 2，（16-1）÷3=5，所以第 16 个数是 3．
例1 黑珠、白珠共 102 个，排列成○●○○○●○○○●○○○……，这串珠子中， 最后一个珠子应
是什么颜色，这种颜色在这串珠子中共有多少个？
分析：观察可以发现，这串珠子是按“一白、一黑、二白”4 个珠子组成一组，并且不断重复出现的．我们
先算出 102 个珠子可以这样排列成多少组，还余多少．我们可以根据排列周期判断出最后一个珠子的颜色，还可以求出有多少个这样的珠子．
因为 102÷4=25…2，所以最后一个珠子是第 26 个周期中的第二个，即为黑色． 在每一个周期中只有 1 个黑珠子，所以黑色珠子在这串珠子中共有 25＋1=26（个）
[巩固]按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第 100 个三角形是什么颜色的？在这 100 个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
从图中可以看出，按照 6 个为一个周期，因为 100÷6=16……4，所以第 100 个三角形应该是这一个周期 当中的第四个，应该是黑色的．每个周期里有 3 个白色的，一共有 16 个周期就有 48 个白色三角形，余下的 4 个三角形中还有 3 个白色的，所以一共有 16×3＋3=51 个．
例2 流水线上给小木球涂色的次序是：先 5 个红、再 4 个黄、再 3 个绿、在 2 个黑、再 1 个白，然后
又依次是 5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白……如此继续涂下去，到第 2003 个小球该涂什么颜色？
分析：小木球的涂色顺序是：“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白”，也就是每涂过“5 红、4 黄、3 绿、2 黑、1 白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是 5＋4＋3＋2＋1=15，因此只要用 2003 除以 15，根据余数是 8 就可以判断：第 2003 个小木球出现在上面所列一个周期中第 8 个，所以第 2003 个小球是涂黄色
2003÷15=133……8
例3 节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看出每两个白灯之间有红、黄、绿各一盏彩灯．也就
是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有 3 盏彩灯．那么第 73 盏灯是什么颜色的灯？
分析： 从第一盏白灯开始，每隔三盏彩灯就又出现一盏白灯，不难看出白灯的编号依次是： 1，
5，9，13，……，这些编号被 4 除所得的余数都是 1．
73=4×18＋1，即 73 被 4 除的余数是 1，因此第 73 盏灯是白灯．
例4 小莉把平时积存下来的 200 枚硬币按 3 个 1 分，2 个 2 分，1 个 5 分的顺序排列起来．
（1） 最后 1 枚是几分硬币
（2） 这 200 枚硬币一共价值多少钱？
分析：（1）每个周期有 3＋2＋1=6 枚硬币，要求最后一枚，用这个数除以 6，根据余数来判断 200÷6=33……2，所以最后一枚是 1 分硬币
（2）每个周期中 6 枚硬币共价值 1×3＋2×2＋1×5=12（分），用这个数乘以周期次数再加上余下的， 就可以得到一共价值多少了 12×33＋2=398（分）
所以，这 200 枚硬币一共价值 398 分．
例5 有 249 朵花，按 5 朵红花，9 朵黄花，13 朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这
249 朵花中，什么花最多，什么花最少？最少的花比最多的花少几朵？
分析：这些花按 5 红、9 黄、13 绿的顺序轮流排列，它的一个周期内有 5＋9＋13=27（朵）花．因为 249÷27=9……6，所以，这 249 朵花中含有 9 个周期还余下 6 朵花．按花的排列规律，这 6 朵花中前 5 朵应是红花，最后一朵应是黄花．
在这一个周期里，绿花最多，红花最少，所以在 249 朵花中，自然也是绿花最多，红花最少．少几朵呢？有两种解法：
（方法 1）249÷（5＋9＋13）=9……6
红花有：5×9＋5=50（朵） 绿花有：13×9=117（朵）
红花比绿花少：117－50=67（朵） （方法 2）249÷（5＋9＋13）=9……6
一个周期少的：13－5=8（朵）
9×8=72（朵） 余下的 6 朵中还有 5 朵红花，所以 72－5=67（朵）
作弊
沙僧参加数学考试，监考老师盯着他脖子上的珠子看了半天，冷笑道：“嘿嘿，把算盘伪装成这样了！休想作弊，快摘下来！”
例6 在图所示的表中，将每列上、下两个字组成一组，例如 第一组为（新
奥），第二组为（北林），那么第 50 组是什么？
新北京新奥运新北京新奥运新北京新奥运…… 奥林匹克运动会奥林匹克运动会奥林匹克运动会……
分析：要知道第 50 组是哪两个数，我们首先要弄清楚第一行和第二行的第 50 个字分别应该是什么． 第一行“新北京新奥运”是 6 个字一个周期，50÷6=8……2，第 50 个字就是北．再看第二行“奥林匹 克运动会”是 7 个字一个周期，50÷7=7……1，第 50 个字就是奥．把第一行和第二行合在一起，第 50 组就是“北奥”．
[前铺]“北京欢迎你北京欢迎你北京欢迎你……”依次排列，第 28 个字是什么字？
分析：这道题是按“北京欢迎你”的规律重复排列，即 5 个字为一个周期．
因为 28÷5=5…3，所以 28 个字里含有 5 个周期还多 3 个字，即第 28 个字就是所列一个周期中的第 3 个字，所以第 28 个字是“欢”字．
例7 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A”， 第二组是“们，
B”……
我 A 们 B 爱 C 科 D 学 E 我 F 们 G 爱 A 科 B 学 C 我 …… D …… （1） 写出第 62 组是什么？
（2） 如果“爱、C”代表 1991 年，那么“科、D”代表 1992 年……问 2008 年对应怎样的组？
分析：（1）要求第 62 组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“ABCDEFG”七个字母为一个周期 62÷5=12……2 62÷7=8……6
所以第 62 组是“们，F”
（2）2008 是 1991 之后的第 17 组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按 “DEFGABC” 七个字母为一个周期2008－1991=17（组） 17÷5=3……2 17÷7=2……3
所以 2008 年对应的组为“学、F”
例8
2002 年的 6 月 1 日是星期六，问这一年的 10 月 1 日是 星期几？
分析：我们只要算出 6 月 1 日到 10 月 1 日要经过多少天，然后按照 7 天为一个周期， 运用周期变化规律解答．