发布时间 : 星期四 文章同济大学高等数学第十章重积分更新完毕开始阅读
rdrdθ即可.但必须指出的是：区域D必须用极坐标系表示.
在极坐标系下的二重积分，同样也可以化为二次积分计算.下面分三种情况讨论： (1) 极点O在区域D外部，如图10—14所示.
图10—14
设区域D在两条射线θ?α,θ?β之间，两射线和区域边界的交点分别为A,B，将区域D的
［α,β］边界分为两部分，其方程分别为r?r1?θ?,r?r2?θ?且均为上的连续函数.此时
D???r,θ?|r1?θ??r?r2?θ?,α?θ?β?.
于是
??f?rcosθ,rsinθ?rdrdθ??dθ?Dαβr2?θ?r1?θ?f?rcosθ,rsinθ?rdr
(2) 极点O在区域D内部，如图10—15所示.若区域D的边界曲线方程为r?r?θ?，这时积分区域D为
D???r,θ?|0?r?r?θ?,0?θ?2π?，
且r?θ?在??0,2π??上连续.
图10—15
于是
??f?rcosθ,rsinθ?rdrdθ??dθ?D02πr?θ?0f?rcosθ,rsinθ?rdr.
(3) 极点O在区域D的边界上，此时，积分区域D如图10—16所示.
图10—16
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D???r,θ?|α?θ?β,0?r?r?θ??,
且r?θ?在??0,2π??上连续，则有
??f?rcosθ,rsinθ?rdrdθ??dθ?Dαβr?θ?0f?rcosθ,rsinθ?rdr.
在计算二重积分时，是否采用极坐标变换，应根据积分区域D与被积函数的形式来决定.
?y?一般来说，当积分区域为圆域或部分圆域，及被积函数可表示为fx2?y2或f??等形式时，
?x?常采用极坐标变换，简化二重积分的计算.
例6 计算二重积分
??I???D1?x2?y2dxdy，
1?x2?y2其中D??x,y?|x2?y2?a2?0?a?1?.
解 在极坐标系中积分区域D为
D???r,θ?|0?r?a,0?θ?2π?,
??则有
I???D2πa1?r21?x2?y2dxdy??d??rdr
001?x2?y21?r2?π?a0a1?r22rdr令t?rπ?01?r2221?t1?t2dt
?πarcsint?1?t??a02?πarcsina2?1?a2?1.
??例7 计算二重积分??xy2d?，其中D是单位圆在第I象限的部分.
Dπ解 采用极坐标系. D可表示为0?θ?， 0?r?1（图10-17），
2图10-17
于是有
22??xyd???d??rcos??rsin??rdr D002π21??cosθsin2θdθ?r4dr?00π211. 15
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例8 计算二重积分??x2d?，其中D是二圆x2?y2?1和x2?y2?4之间的环形闭区域.
D解 区域D：0?θ?2π，1?r?2，如图10—18所示.
图10—18
于是
222??xd???d??rcos??rdr??D012π22π0
21?cos2?15d??r3dr?π. 1242.2.2. 直角坐标系的情形
我们先来考虑面积元素的变化情况.
设函数组x?x(u,v)，y?y(u,v)为单值函数，在Duv上具有一阶连续偏导数，且其雅可比行列式
?(x,y)?0,
?(u,v)则由反函数存在定理，一定存在着D上的单值连续反函数
u?u(x,y)，v?v(x,y).
这时Duv与D之间建立了一一对应关系，uOv面上平行于坐标轴的直线在映射之下成为
J?xOy面上的曲线u(x,y)?u0，v(x,y)?v0.我们用uOv面上平行于坐标轴的直线
u?ui，v?vj (i?1,2,L,n;j?1,2,L,m)
将区域Duv分割成若干个小矩形，则映射将uOv面上的直线网变成xOy面上的曲线网（图10—19）.
图10—19
在Duv中任取一个典型的小区域ΔDuv (面积记为Δσ*)及其在D中对应的小区域ΔD (面积记为Δσ)，如图10—20所示.
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图10—20
设ΔD的四条边界线的交点为P1(x0,y0)，P2(x0??x1,y0??y1)，P3(x0??x2,y0??y2)和
uuuuruuuurΔxi,Δyi?i?1,2,3?也很小，P4(x0?Δx3,y0?Δy3).当Δu,Δv很小时，ΔD的面积可用P1P2与P1P4构成的平行四边形面积近似.即
uuuurP1P2??Δx1?i??Δy1?j
uuuuruuuurΔσ?P1P2?P1P4.
而
?［x?u0?Δu,v0??x?u0,v0?］i?［y?u0?Δu,v0??y(u0,v0］j ?［x?u?u0,v0?Δu］i?［y?u?u0,v0?Δu］j.
同理 从而得
uuuurP1P4?［x?v?u0,v0?Δv］i?［y?v?u0,v0?Δv］j. ?y?xΔuΔuuuuuruuuur?u?uΔσ?P1P2?P1P4?的绝对值
?y?xΔvΔv?v?v?(x,y)?(x,y)?gΔuΔv?Δσ*. ?(u,v)?(u,v)因此，二重积分作变量替换x?x(u,v),y?y(u,v)后，面积元素dσ与dσ*的关系为
d??或
?(x,y)d?*, ?(u,v)?(x,y)dudv. ?(u,v)dxdy?由此得如下结论：
定理1 若f(x,y)在xOy平面上的闭区域D上连续，变换T：x?x(u,v),y?y(u,v)，将uOv平面上的闭区域Duv变成xOy平面上的D,且满足:
(1)x(u,v),y(u,v)在Duv上具有一阶连续偏导数， (2)在Duv上雅可比式
?(x,y)?0；
?(u,v)(3)变换T：Duv?D是一对一的，则有
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