发布时间 : 星期一 文章概率论与数理统计测试题及答案更新完毕开始阅读
概率论与数理统计测试题
一、填空题(每小题3分，共15分)
1．将3个小球随机地放到3个盒子中去，每个盒子都有1个小球的概率为__________. 2．设A，B是两事件，P(A)?1/4,P(B|A)?1/3，则P(AB)?__________.
3．掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和是5，则其中有一颗是1点的概率是__________.
?0,x?1?4．设随机变量X的分布函数为F(x)??lnx,1?x?e，则X的概率密度为__________.
?1,x?e?5．设总体X~U[0，1]，X1,X2,X3是其一个样本，则P{max(X1,X2,X3)?1/2}?__________. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设两事件A与B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则( )正确. （A）A与B互不相容; （B）P(AB)?P(A)P(B); （C）P(AB)?P(A)P(B); （D）P(A?B)?P(A).
2．一种零件的加工由两道工序完成，第一道工序、第二道工序的废品率分别为p，q，设两道工序的工作是独立的，则该零件的合格品率是 ( )
（A）1?p?q；(B) 1?pq； (C) 1?p?q?pq；(D) (1?p)?(1?q). 3．设X~t(n),则X服从 ( )分布 (A)
2?2(n)； （B）F(1,n)； （C）F(n,1)； （D）F(1,n?1).
4．设随机变量X与Y的协方差Cov(X,Y)?0,则下列结论正确的是 ( ) (A) X与Y独立； （B）D(X?Y)?D(X)?D(Y); （C）D(X?Y)?D(X)?D(Y)； (D) D(XY)?D(X)D(Y)
5.设X1,X2,1n,Xn为来自正态总体N(?,?)的一个样本，X,S(?(Xi?X)2)分别?n?1i?122为样本均值和样本方差，则下面结论中不正确的是 ( ) (A)X~N(?,?2n);(B)E(S2)??2;(C)E(S2)?n?2; (D)(n?1)S2/?2~?2(n?1). n?1三、解答题（6个小题，共60分） 1．（10分）设一仓库中有10箱同样规格产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的废品率依次为0.1、0.2、0.3，从这10箱产品中任取一箱，再从该箱中任取一件产品.(1)求取到的产品为废品的概率；(2)若已知取到的产品为废品，求该废品是由甲厂生产的概率. 2．（10分）对一批次品率为0.1的产品进行重复抽样检查，现抽取3件产品，以X表示抽取的3件产品中次品的件数，试求（1）X的分布律；（2）至少有一件是次品的概率. 3．（12分）设连续型随机变量X的概率密度为f(x)??分布函数F(x);(3)P{?/4?X??/2}. 4．（8分）设二维随机变量(X,Y)的分布律为
?asinx,0?x??求：（1）系数a; (2) ，,其它?0Y 0 1 X 0.3 0.2 0.4 0.1 求X与Y的协方差Cov（X，Y）及P{X +Y ?1}. 0 5．（10分）设随机变量(X,Y)的概率密度为 1 ?6y,0?y?x?1 f(x,y)??0,其它?（1）试求关于X及Y的边缘概率密度；（2）判断X与Y是否相互独立，并说明理由.
?(??1)x?,0?x?16．（10分）设总体X的概率密度为f(x;?)??，其中?(???1)是未知
,其它?0参数，X1,X2,,Xn是X的样本，求参数? 的矩估计量与最大似然估计量.
四、证明题（2个小题，共10分）
21． （5分）设随机变量X～N（0，1），证明随机变量Y??X??(??0)～N(?,?).
(X1?X2)2?(X3?X4)22．（5分）设X1,X2,X3,X4是来自总体N(?,?)的样本，证明Y? 22?2服从?分布，并写出自由度. 一、填空题(每小题3分，共15分)
2?1/x,1?x?e1．2/9；2．1/12；3．1/2；4． f(x)??；5．1/8.
?0,其它二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．（D）2． (C)；3．（B）；4．（B）；5. (C). 三、解答题（6个小题，共60分）
1．（10分）解： A1,A2,A3分别表示取得产品是甲、乙、丙厂生产的，B表示取出的产品为
废品，
P(A1)=0.5，P(A2)=0.3，P(A3)=0.2，P(B|A1)=0.1，P(B|A2)=0.2，P(B|A3)=0.3 ………3
分
(1) P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) ………5
分
=0.5?0.1+0.3?0.2+0.2?0.3=0.17 ………7
分
(2)P(A1)1|B)?P(A1)P(B|AP(B)?0.5?0.10.17?517?0.29 0分
2．（10分）解：
(1) X～b(3，0.1)， P{X?k}?Ck3?k30.1k0.9(k?0,1,2,3) 分
X 0 1 2 3 p 0.729 0.243 0.027 0.001 7分
(2)P{X?1}=1
P{X=0}=0.271 3．（12分）解：
（1）??asinxdx?1?10a?2; 分
（2）F(x)??x??f(t)dt 分
??0,x?0?0,x?0????x1?sintdt,0?x????1?cosx,0?x?? ?02???2?1,x????1,x??分
?(3)P{?/4?X??/2}??12?2sinxdx?. 424分
4．（8分）解： E（X）＝0.5，E（Y）＝0.3，E（XY）＝0.1 ………10分 ………1
………3
………
－
………3………6
1012
………4
……… ………分
Cov（X，Y）＝E（XY）－E（X）E（Y）＝－0.05 ………6
分
P{X +Y ?1}=0.2＋0.4＋0.1=0.7 ………8分
5．（10分）解： （1）fX(x)?????x2???06ydy,0?x?1?3x,0?x?1 ………4分 f(x,y)dy?????0,其它?,其它?0fY(y)??????16ydx,0?y?1?6y(1?y),0?y?1? ………8分 f(x,y)dx???y??,其它?0?,其它?0（2）X与Y不相互独立，因为f(x,y)?fX(x)fY(y) ………10分 6．（10分）解 （1）矩估计量
?1?E(X)??x?(??1)x?dx?01??1 ………3分 ??2???1?2?1??1?2X ………5分 ???1?1X?1(2) 最大似然估计量 对于给定样本值x1,x2,nn,xn,似然函数为
L(?)??f(xi;?)??(??1)xi??(??1)n(x1x2i?1i?1xn)?,0?xi?1 ………7分
ndnlnL(?)?nln(??1)???lnxi，lnL(?)???lnxi?0 ………8分
d???1i?1i?1nnn?????n??lnxii?1?lnxi?1n???，最大似然估计量为?n??lnXii?1i?lnXi?12n ………10分
i四、证明题（2个小题，共10分）
1?x21．证明 ：X的概率密度为fX(x)?e, ………1分
2?函数y??x??,y????0,y?(??,?)，x?y????h(y),h?(y)?1?, ………3分
fY(y)?fX[h(y)]|h?(y)|??1e2??(y?u)22?2?Y~N(?,?2). ………5分
2．证明：X1?X2~N(0,2?)?2X?X4X1?X2~N(0,1),………2分 ~N(0,1),同理32?2?两者独立 ………4分
因此 Y?(X1?X2)2?(X3?X4)22?2~?2(2) ………5分