发布时间 : 星期六 文章精选2019届高三理科数学二轮复习讲义：模块二专题五第二讲圆锥曲线的方程与性质更新完毕开始阅读
专题五 解析几何 第二讲 圆锥曲线的方程与性质
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以某一圆锥曲线或两种曲线组合为载体，考查的角度有定义、方程和性质，尤其是离心率、焦点三角形和焦点弦问题是考查的重点.
xy
1．(2017·浙江卷)椭圆＋＝1的离心率是( )
94A.
13525 B. C. D. 3339
2
2
[解析] 由题意得，a＝3，b＝2， ∴c＝a－b＝5， c5
∴离心率e＝＝，故选B.
a3[答案] B
xy5xy
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝
ab21231有公共焦点，则C的方程为( )
xy
A.－＝1 810xy
C.－＝1 54
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xy
B.－＝1 45xy
D.－＝1 43
2
2
2
2
2
2
22
xyxy
[解析] 解法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，∵双曲线与椭
454k5kxyxy
圆＋＝1有公共焦点，∴4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为－＝1. 12345
xyxy222
解法二：∵椭圆＋＝1的焦点为(±3,0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，∴a＋b＝(±3)＝9①，
123123∵双曲线的一条渐近线为y＝
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5b5
x，∴＝②， 2a2
2
2
xy
联立①②可解得a＝4，b＝5.∴双曲线C的方程为－＝1.
45[答案] B
3．(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
[解析] 不妨设C：y＝2px(p>0)，A(x1,22)，则x1＝
2
22p
2
4?4?2
＝，由题意可知|OA|＝|OD|，得??＋8＝p?p?
?p?2＋5，解得p＝4.故选B.
?2???
[答案] B
xy
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆
ab与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A.
6321 B. C. D. 3333
2
2
2
2
2
[解析] 以线段A1A2为直径的圆的方程为x＋y＝a，该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切， |b×0－a×0＋2ab|22∴＝a，即2b＝a＋b， 22
b＋－c2c6
∴a＝3b，∵a＝b＋c，∴2＝，∴e＝＝. a3a3
2
2
2
2
2
2
[答案] A
5．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
[解析] 如图所示，设N(0，m)．
m?m?2
又F(2,0)，则M?1，?.设M代入y＝8x，得＝8，解得m＝±42.
4?2?∴|FN|＝
－
222
＋－
2＝36＝6.
[答案] 6
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
[对点训练]
xy4
1．(2017·惠州二模)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点是(2，0)，且截直线x＝2所得弦长为6，
ab3则该椭圆的方程为( )
xy
A.＋＝1 128xy
C.＋＝1 46
2
2
2
2
2
2
xy
B.＋＝1 812xy
D.＋＝1 64
2
2
22
x＝c，??22
[解析] 由已知得c＝2，直线x＝2过椭圆的右焦点，且垂直于x轴，由?xy
2＋2＝1??ab2b4?2
?＝6，2ba3∴截直线x＝2所得弦长为，由?a
??a2－b2＝2
xy
∴所求椭圆的方程为＋＝1.
64[答案] D
2
2
2
b
可得y＝±，a
2
2
得a＝6，b＝4.
22
xy
2．(2017·惠阳二模)已知F1，F2为双曲线C：－＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝2|PF2|，
169则cos∠F1F2P＝( )
435523A. B. C. D．－ 556440
[解析] 由题意可知，a＝4，b＝3，∴c＝5，设|PF1|＝2x，|PF2|＝x，则|PF1|－|PF2|＝x＝2a＝8，故|PF1||PF2|＋|F1F2|－|PF1|23
＝16，|PF2|＝8，又|F1F2|＝10，利用余弦定理可得cos∠F1F2P＝＝－. 2|PF2|·|F1F2|40
[答案] D
xy
3．(2017·湖南六校联考)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1，F2为直径的
ab圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为( )
xy
A.－＝1 169xy
C.－＝1 916
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
xy
B.－＝1 34xy
D.－＝1 43
2
2
2
2
2
2
22
[解析] 以F1，F2为直径的圆的方程为x＋y＝c，又因为点(3,4)在圆上，所以3＋4＝c，所以c＝5，双bb4222
曲线的一条渐近线方程为y＝x，且点(3,4)在这条渐近线上，所以＝，又a＋b＝c＝25，解得a＝3，b＝4，
aa3xy
所以双曲线的方程为－＝1，故选C.
916
[答案] C
4．(2017·武汉市武昌区高三二调)已知抛物线Γ：y＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P在Γ上且|PK|＝2|PF|，则△PKF的面积为________．
[解析] 由已知得，F(2,0)，K(－2,0)，过P作PM垂直于准线，则|PM|＝|PF|，又|PK|＝2|PF|，∴|PM|
2
2
2
＝|MK|＝|PF|，∴PF⊥x轴，△PFK的高等于|PF|，不妨设P(m22m)(m>0)，则m＋2＝4，解得m＝2，故△1
PKF的面积S＝4×22×2×＝8.
2
[答案] 8
2,2
求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a，b或p.
2
2
【特别提醒】 抛物线定义的实质是抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的转化．
考点二 圆锥曲线的几何性质
c222
1．在椭圆中：a＝b＋c，离心率为e＝＝
ac222
2．在双曲线中：c＝a＋b，离心率为e＝＝a
2
2
?b?21－??.
?a??b?21＋??.
?a?
xyb
3．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. aba
[对点训练]
1．(2017·惠州市高三三调)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A.3 B.2 C．2 D．3
xy
[解析] 设双曲线C的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因
abxy
此直线l的方程为x＝c或x＝－c，代入2－2＝1中得
ab
b2b?c?b
y＝b?2－1?＝2，∴y＝±，故|AB|＝，依题意
aa?a?a
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2bbc－a2
＝4a，∴2＝2，∴2＝e－1＝2，∴e＝3，选A. aaa[答案] A
xy
2．(2017·临汾二模)若直线y＝－3x与椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆
ab恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为( )
A.
33－1 B. C.3－1 D．4－23 22
2
2
2222
[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c.由y2ππ
＝－3x得∠AOF2＝，∠AOF1＝，∴|AF2|＝3c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，
33
c
∴c＋3c＝2a，∴e＝＝3－1.
a