发布时间 : 星期一 文章2017-2018学年高中数学第四章圆与方程4.2.1直线与圆的位置关系第二课时直线与圆的位置关系（习题课）学案更新完毕开始阅读
第二课时 直线与圆的位置关系(习题课)
1．直线与圆的位置关系有哪几种？ 略
2．如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？ 略
3．如何求过某点的圆的切线方程？ 略
4．如何求圆的弦长？ 略
与圆有关的切线问题 [例1] 自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上的点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x＋y－8x－6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线方程．
[解] 如图，作圆x＋y－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x＋
2
2
2
2
2
y2－8x＋6y＋21＝0，由几何光学原理，知直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切．
由于l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.
|4k＋3＋6k＋7|22
由圆x＋y－8x＋6y＋21＝0的圆心(4，－3)到直线l的距离等于半径，知
k2＋1＝
10|k＋1|34
＝2，解得k＝－或k＝－，
43k2＋1
故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0. [类题通法]
过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法： (1)设切线斜率，用判别式法；
(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长； (3)设切点(x0，y0)，用切线公式法． [活学活用]
已知圆C：(x－2)＋(y－1)＝1.求： (1)过A(3,4)的圆C的切线方程；
2
2
(2)在两坐标轴上的截距相等的圆C的切线方程．
解：(1)当所求直线的斜率存在时，设过A(3,4)的直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
由
|2k－1＋4－3k|4
＝1，得k＝. 231＋k4
所以切线方程为y－4＝(x－3)，即4x－3y＝0.
3
当所求直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，也符合题意． 故所求直线方程为4x－3y＝0或x＝3.
(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为＋＝1或y＝kx，于是由圆心(2,1)到切线|3－a||2k－1|
距离为1，得＝1或＝1. 2
21＋k4
解得a＝3±2，k＝0或k＝. 3
4
故所求切线方程为x＋y＝3±2或y＝0或y＝x.
3
与圆有关的参数问题 [例2] 已知直线l：y＝－的取值范围．
[解] ∵l：y＝－
3
x＋m，圆x2＋y2＝1， 3
3x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，求m3xyaa∴l可变形为3x＋3y－3m＝0， 圆的圆心为(0,0)，半径长r＝1.
|－3m|23
当直线和该圆相切时，应满足d＝＝1，解得m＝±.在平面直角坐标系中作出
33＋9图象，如图所示，
其中l2：y＝－
323323
x＋，l3：y＝－x－. 3333
3
x，m0：y＝－x. 3
过原点作直线l0：y＝－
∵直线l的斜率k＝－
3
，直线AB的斜率k＝－1， 3
∴只有当直线l在移动到过A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线l1：y＝－
3
x＋1.要使直线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线l只有在直线l1和3
?23?
直线l2之间运动才可，此时相应的m∈?1，?.
3??
?23?
∴m的取值范围是?1，?.
3??
[类题通法]
解决与圆有关的参数问题，有时直接求解比较困难，可根据题意先画出图象，利用数形结合的方法，可以很容易得出答案．
[活学活用]
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x＋y＝4，直线l：12x－5y＋c＝0(其中c为常数)．下列有关直线l与圆O的命题：
①当c＝0时，圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1； ②若圆O上有四个不同的点到直线l的距离为1，则－13＜c＜13； ③若圆O上恰有三个不同的点到直线l的距离为1，则c＝13； ④若圆O上恰有两个不同的点到直线l的距离为1，则13＜c＜39； ⑤当c＝±39时，圆O上只有一个点到直线l的距离为1. 其中正确命题的序号是________． 答案：①②⑤
直线与圆的综合问题 [例3] 已知圆x＋y＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
??x＋2y－3＝0
[解] 由?22
?x＋y＋x－6y＋m＝0?
222
2
消去y，
得5x＋10x＋4m－27＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
2
??x＋x＝－2，
则?
4m－27xx＝.??5
1
2
12
Δ＝100－m－＞0， ①
又OP⊥OQ，
∴kOP·kOQ＝－1，即x1x2＋y1y2＝0. 11
∴x1·x2＋(3－x1)·(3－x2)＝0，
22整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0， 4m－27
∴5×－3×(－2)＋9＝0.
5解得m＝3满足① ∴实数m的值为3. [类题通法]
此题设出P，Q两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握．
[活学活用]
自原点O作圆(x－1)＋y＝1的不重合两弦OA，OB，若|OA|·|OB|＝k(定值)，证明不论A，B两点位置怎样，直线AB恒切于一个定圆，并求出定圆的方程．
解：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则|OA|·|OB|＝x1＋y1·x2＋y2 ＝x1＋[1－x1－＝4x1x2＝k. ∴x1x2＝.
4
设直线AB的方程为y＝mx＋b， 代入已知圆的方程并整理，得 (1＋m)x＋2(mb－1)x＋b＝0， 由根与系数的关系，得x1x2＝∴
2
2
2
222
2
2
2
2
2
]·x2＋[1－x2－
22]
k2
b2
1＋m2
. b2
1＋m2＝. 4
|b|1＋m2
k2
∵原点O到直线mx－y＋b＝0的距离为∴所求定圆的半径r满足
，
r＝2
b2
1＋m2
＝(定值)． 4
2
2
k2
∴直线AB恒切于定圆x＋y＝.
4
k2