发布时间 : 星期日 文章算法设计与分析习题答案1-6章更新完毕开始阅读
O(N)+x=2*O(N/2)+2*x
a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a *O(N/2)+(a+1)*x 由此可知，时间复杂度可达到O(n);
3.分治策略一定导致递归吗如果是，请解释原因。如果不是，给出一个不包含递归的分治例子，并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。
不一定导致递归。
如非递归的二叉树中序遍历。
这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是：应用了栈这个数据结构。
4. 对于待排序序列(5, 3, 1, 9)，分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。
归并排序：
第一趟：（5,3）（1,9）； 第二趟：（3,5,1,9）； 第三趟：（1,3,5,9）；
快速排序：
第一趟：5（ ,3,1,9）；设计分治算法求一个数组中的最大元素，并分析时间性能。
设计分治算法，实现将数组A[n]中所有元素循环左移k个位置, 要求时间复杂性为O(n)，空间复杂性为O(1)。例如，对abcdefgh循环左移3位得到defghabc。
设计递归算法生成n个元素的所有排列对象。
#include
int data[100];
设计分治算法求解一维空间上n个点的最近对问题。
参见最近对问题的算法分析及算法实现
9. 在有序序列(r1, r2, …, rn)中，存在序号i（1≤i≤n），使得ri=i。请设计一个分治算法找到这个元素，要求算法在最坏情况下的时间性能为O(log2n)。
在一个序列中出现次数最多的元素称为众数。请设计算法寻找众数并分析算法的时间复杂性。
设M是一个n×n的整数矩阵，其中每一行（从左到右）和每一列（从上到下）的元素都按升序排列。设计分治算法确定一个给定的整数x是否在M中，并分析算法的时间复杂性。
12. 设S是n（n为偶数）个不等的正整数的集合，要求将集合S划分为子集S1和S2，使得| S1|=| S2|=n/2，且两个子集元素之和的差达到最大。
设a1, a2,…, an是集合{1, 2, …, n}的一个排列，如果i
k循环赛日程安排问题。设有n=2个选手要进行网球循环赛，要求设计一个满足以下要求的比赛日程表：
（1）每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次； （2）每个选手一天只能赛一次。
采用分治方法。
将2^k选手分为2^k-1两组，采用递归方法，继续进行分组，直到只剩下2个选手时，然后进行比赛，回溯就可以指定比赛日程表了
n15. 格雷码是一个长度为2的序列，序列中无相同元素，且每个元素都是长度为n的
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二进制位串，相邻元素恰好只有1位不同。例如长度为2的格雷码为(000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100)。设计分治算法对任意的n值构造相应的格雷码。
矩阵乘法。两个n×n的矩阵X和Y的乘积得到另外一个n×n的矩阵Z，且Zij
满足 （1≤i, j≤n），这个公式给出了运行时间为O(n)的算法。可以用分 治法解决矩阵乘法问题，将矩阵X和Y都划分成四个n/2×n/2的子块，从而X和Y的乘积可以用这些子块进行表达，即
3
从而得到分治算法：先递归地计算8个规模为n/2的矩阵乘积AE、BG、AF、BH、CE、DG、CF、DH，然后再花费O(n2)的时间完成加法运算即可。请设计分治算法实现矩阵乘法，并分析时间性能。能否再改进这个分治算法
习题5
1. 下面这个折半查找算法正确吗如果正确，请给出算法的正确性证明，如果不正确，请说
明产生错误的原因。
int BinSearch(int r[ ], int n, int k) {
int low = 0, high = n - 1; int mid;
while (low <= high) {
mid = (low + high) / 2; if (k < r[mid]) high = mid;
else if (k > r[mid]) low = mid;
else return mid; }
return 0; }
错误。 正确算法：
int BinSearch1(int r[ ], int n, int k) {
int low = 0, high = n - 1; int mid;
while (low <= high) {
mid = (low + high) / 2; if (k < r[mid]) high = mid - 1;
else if (k > r[mid]) low = mid + 1;
else return mid; }
return 0; }
2. 请写出折半查找的递归算法，并分析时间性能。
求两个正整数m和n的最小公倍数。（提示：m和n的最小公倍数lcm(m, n)与m和n的最大公约数gcd(m, n)之间有如下关系：lcm(m, n)=m×n/gcd(m, n)）
插入法调整堆。已知（k1, k2, …, kn）是堆，设计算法将（k1, k2, …, kn, kn+1）调整为堆（假设调整为大根堆）。
参照：
void SiftHeap(int r[ ], int k, int n) {
int i, j, temp;
i = k; j = 2 * i + 1; 设计算法实现在大根堆中删除一个元素，要求算法的时间复杂性为O(log2n)。
计算两个正整数n和m的乘积有一个很有名的算法称
n m 为俄式乘法，其思想是利用了一个规模是n的解和一个规50 65 25 130 130 模是n/2的解之间的关系：n×m＝n/2×2m（当n是偶数）
12 260 或：n×m＝(n-1)/2×2m＋m（当n是奇数），并以1×m＝m6 520 作为算法结束的条件。例如，图给出了利用俄式乘法计算3 1040 1040 1 2080 2080 + 50×65的例子。据说十九世纪的俄国农夫使用该算法并因
3250 此得名，这个算法也使得乘法的硬件实现速度非常快，因
图 俄式乘法 为只使用移位就可以完成二进制数的折半和加倍。请设计算法实现俄式乘法。
拿子游戏。考虑下面这个游戏：桌子上有一堆火柴，游戏开始时共有n根火柴，两个玩家轮流拿走1，2，3或4根火柴，拿走最后一根火柴的玩家为获胜方。请为先走的玩家设计一个制胜的策略（如果该策略存在）。
如果桌上有小于4根的火柴，先手必胜，如果是5根，先手必输；依次类推，同理15、20、25…….都是必输状态；所有每次把对手逼到15、20、25…….等必输状态，就可以获胜。
9. 竞赛树是一棵完全二叉树，它反映了一系列“淘汰赛”的结果：叶子代表参加比赛的n个选手，每个内部结点代表由该结点的孩子结点所代表的选手中的胜者，显然，树的根结点就代表了淘汰赛的冠军。请回答下列问题：
（1）这一系列的淘汰赛中比赛的总场数是多少
（2）设计一个高效的算法，它能够利用比赛中产生的信息确定亚军。
（1）因为n人进行淘汰赛，要淘汰n-1人，所有要进行n-1场比赛。 （2）
10. 在120枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，最坏情况下，能不能只比较5次就检测出这枚假币
将120枚平均分为三组，记为：A，B，C；先将A,B比较，如果A,B重量不同（假如B比A重），再将B与C比较，如果B，C相同，则A有假币；如果B,C不同，再将A,C比较，如果A,C相同，则B有假币；如果A,C不同，则B有假币；如果A,B相同，则C有假币；