发布时间 : 星期三 文章2019届高考数学二轮复习专题四三角函数、向量与解三角形第3讲正、余弦定理及其应用学案更新完毕开始阅读
内部文件，版权追溯 第3讲 正、余弦定理及其应用
1. 高考对解三角形问题考查比较普遍，主要考查正、余弦定理的应用，并能运用它们求解与三角形有关的问题．
2. 高考主要涉及的题型：(1) 结合三角恒等变换考查解三角形知识；(2) 结合三角形性质综合考查三角函数知识．
1. (2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝ ________．
答案：75°
632
解析：由正弦定理得＝，得sin B＝.
sin B232
∵ b 2. (2018·石家庄模拟)在△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于________． 33 答案：或 24 222 解析：由余弦定理得AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos B，即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1 1113 或BC＝2.当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BCsin B＝×3×1×＝.当BC＝2时， 2224111333 △ABC的面积S＝AB·BCsin B＝×3×2×＝.综上，△ABC的面积等于或. 222242 π3 3. 在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cos B＝，则 45 c＝________． 答案：7 3π4 解析：因为cos B＝，所以B∈(0，)，从而sin B＝，所以sin C＝sin(A＋B)＝sin 525 Acos B＋cos Asin B＝ 232472ac5c×＋×＝.又由正弦定理得＝，即＝，252510sin Asin C272 210 解得c＝7. 4. (2018·兰州模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为________． 答案：直角三角形 2 解析：由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sinA，即sin(π π22 －A)＝sinA，sin A＝sinA.因为A∈(0，π)，所以sin A＞0，所以sin A＝1，即A＝， 2 故△ABC为直角三角形． , 一) 利用正、余弦定理解三角形 , 1) (2018·徐州期中)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b， 1 c，且a＋2c＝2bcos A. (1) 求角B的大小； (2) 若b＝23，a＋c＝4，求△ABC的面积． 解：(1) 因为a＋2c＝2bcos A， 由正弦定理，得sin A＋2sin C＝2sin Bcos A. 因为C＝π－(A＋B)，所以sin A＋2sin(A＋B)＝2sin Bcos A， 即sin A＋2sin Acos B＋2cos Asin B＝2sin Bcos A，所以sin A(1＋2cos B)＝0. 1 因为sin A≠0，所以cos B＝－. 2 2π 因为0 (2) 由余弦定理a＋c－2accos B＝b及b＝23得a＋c＋ac＝12， 2 即(a＋c)－ac＝12. 113 因为a＋c＝4，所以ac＝4，所以S△ABC＝acsin B＝×4×＝3. 222 在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tan B＝2，tan C＝3. (1) 求角A的大小； (2) 若c＝3，求b的长． 解：(1) 因为tan B＝2，tan C＝3，A＋B＋C＝π， 所以tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C) tan B＋tan C2＋3＝－＝－＝1. 1－tan Btan C1－2×3 π 又A∈(0，π)，所以A＝. 4 sin B22 (2) 因为tan B＝＝2，且sinB＋cosB＝1， cos B25 又B∈(0，π)，所以sin B＝. 5310 同理可得sin C＝. 10 253× 5csin B由正弦定理，得b＝＝＝22. sin C310 10 2 2 2 2 2 , 二) 结合正、余弦定理求值化简 , 2) (2018·启东中学月考)已知函数f(x)＝2cos(x＋)cos(x－)，x∈R. (1) 求函数f(x)的最小正周期； 1π (2) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若锐角A满足f(A)＝－，C＝且 26 c＝2，求△ABC的面积． ?π?π???π??π??π?解：(1) f(x)＝2cos?x＋?cos?x－?＝2sin?－?x＋??cos?x－? 3???3?6?6????2? π??π??π??＝2sin?－x?cos?x－?＝－sin?2x－?， 6?3??6??? π 3 π6 2 2π ∴ 函数的最小正周期T＝＝π. |ω| π?11?(2) ∵ f(A)＝－，∴ －sin?2A－?＝－. 3?22? π?1?∴ sin?2A－?＝. 3?2? πππ2π ∵ A为锐角，∴ 0 2333 πππ ∴ 2A－＝，解得A＝. 364 aca2 由正弦定理，＝，即＝，解得a＝22. sin Asin C21 22 ∴ sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝116＋2 ∴ △ABC的面积为S＝acsin B＝×22×2×＝1＋3. 224 4 (2018·南京学情调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos B＝. 5 sin B(1) 若c＝2a，求的值； sin Cπ (2) 若C－B＝，求sin A的值． 4 4a2＋c2－b24 解：(1)(解法1)在△ABC中，因为cos B＝，所以＝. 52ac5 2 ?c?＋c2－b2?2? 4b29b35?? 因为c＝2a，所以＝，即2＝，所以＝. c5c20c102c× 2sin Bbsin B35 由正弦定理得＝，所以＝. sin Ccsin C10 432 (解法2)因为cos B＝，B∈(0，π)，所以sin B＝1－cosB＝. 55 因为c＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A， 68 所以sin C＝2sin(B＋C)＝cos C＋sin C，即－sin C＝2cos C. 5525sin B3522 因为sinC＋cosC＝1，sin C＞0，解得sin C＝，所以＝. 5sin C10 472 (2) 因为cos B＝，所以cos 2B＝2cosB－1＝. 525 32 又0＜B＜π，所以sin B＝1－cosB＝， 5 3424 所以sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝. 5525 ππ3π 因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B， 444 6＋2 . 4 3 3π3π3π27224 所以sin A＝sin(－2B)＝sincos 2B－cossin 2B＝×－(－)×＝ 444225225312 . 50 , 三) 解三角形及其应用 , 3) (2018·大连模拟)如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山 顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角是60°，若山高为23千米． (1) 船的航行速度是每小时多少千米？ (2) 若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？ 解：(1) 在△BCP中，tan∠PBC＝?BC＝2. PCBCBCAB2AB在△ABC中，由正弦定理得＝?＝， sin∠BACsin∠BCAsin 15°sin 45° 所以AB＝2(3＋1)， 船的航行速度是每小时6(3＋1)千米． (2) 在△BCD中，由余弦定理得CD＝6. CDCB2 在△BCD中，由正弦定理得＝?sin∠CDB＝， sin∠DBCsin∠CDB2 所以山顶位于D处的南偏东45°. 如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2千米．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)? 解：设∠AMN＝θ，在△AMN中， ＝. sin 60°sin（120°－θ） MNAM43 因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)． 3 在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)． AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP 16432 ＝sin(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)·cos(60°＋θ) 33161632 ＝sin(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 33 4