发布时间 : 星期日 文章2019-2020学年广西壮族自治区来宾市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)更新完毕开始阅读
1?11111?1?1?1??????????1?????， 2?3352n?12n?1?2?2n?1?数列?bn?的前n项和为
3?1?3n?1?33n?1?3，
?23n?11故Tn???1.
24n?2【点睛】
本题考查等差数列通项、前n项和基本量的运算，以及求等比数列的通项与前n项和，考查裂项相消求数列的前n和，属于中档题.
x221．已知函数f(x)?．
lnx（1）求f?x?在(1,??)上的单调区间；
?12?3g(x)?f(x)?a（2）若函数在?e,e?上只有一个零点，求a的取值范围．
??【答案】（1）单减区间：(0,1),(1,e)，单增区间：(e，??)
e4（2）(3e,]U{2e}
2【解析】（1）先求函数f?x?的定义域，然后对函数求导，令导数等于0，得到x?通过导函数的正负，得到函数的单调性；
23e，?12?（2）令g?x??0?f(x)?a，根据函数在?e3,e?上只有一个零点，得到
??2?1?e4233f?e??3e,f?e??,f(e)?2e，即得a的取值范围.
2??【详解】
（1）f?x?的定义域为(0,1)?(1,??)，f'?x??x(2lnx?1)
ln2x令f'?x??x(2lnx?1)=0，x?e 2lnx令f'?x?>0，x?e，故f?x?的单增区间为(e，??)；
1?x?0，或e?x?1，故f?x?的单减区间为(0,1),(1,e). 令f'?x?<0，第 13 页 共 15 页
（2）由g?x??0?f(x)?a，
由（1）f?x?的单增区间为(e，??)，单减区间为(0,1),(1,e)
24?1?e2,f(e)?2e 且f?e3??3e3,f?e??2??
e4结合图像，所以a?(3e,]U{2e}.
2【点睛】
本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
22．已知直线x?2p与抛物线C:y2?2px(p?0)交于P，Q两点，且△POQ的面积为16（O为坐标原点）． （1）求C的方程.
（2）直线l经过C的焦点F且l不与x轴垂直；l与C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点D，试问在x轴上是否存在点E，使求该定值及E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y?4x（2）存在点E，且E的坐标为(1,0) 【解析】（1）由△POQ的面积为16，得到
223|AB|为定值？若存在，|DE|1?2p?4p?4p2?16，故得解; 2（2）设直线l的方程为y?k?x?1??k?0?，联立得到韦达定理，得到
4k2?4，表示线段AB的垂直平分线的方程，得到|AB|?x1?x2?p?k2第 14 页 共 15 页
|DE|?|3?【详解】
2?t|，分析即得解. 2k2（1）将x?2p代入y?2px，得y??2p，
所以△POQ的面积为
1?2p?4p?4p2?16． 2因为p?0，所以p?2， 故C的方程为y?4x．
（2）由题意设直线l的方程为y?k?x?1??k?0?，
2由??y?k(x?1)2222，得kx??2k?4?x?k?0． 2?y?4x2k2?4设A?x1,y1?,B?x2,y2?，则x1?x2?，
k24k2?4所以|AB|?x1?x2?p?， 2k2x1?x2k2?2因为线段AB的中点的横坐标为，纵坐标为， ?2k2k21k2?2所以线段AB的垂直平分线的方程为y???(x?)， 2kkk令y?0，得x?3?22D3?，所以的横坐标为， 22kk2|(3?t)k2?2|设E(t,0)，则|DE|?|3?2?t|?，
kk2当且仅当3?t?2，即t?1时，
|AB|为定值，且定值为2， |DE|故存在点E，且E的坐标为(1,0)． 【点睛】
本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.
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