21.B12、B14、B7 设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.
(1)求f′(x); (2)求A;
(3)证明:|f′(x)|≤2A.
21.解:(1)f′(x)=-2αsin 2x-(α-1)sin x.
(2)当α≥1时,|f(x)|=|αcos 2x+(α-1)(cos x+1)|≤α+2(α-1)=3α-2=f(0),
因此A=3α-2.
当0<α<1时,将f(x)变形为f(x)=2αcosx+(α-1)cos x-1.
令g(t)=2αt+(α-1)t-1,则A是|g(t)|在上的最大值,g(-1)=α,g(1)=3α1-α1-α(α-1)
-2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g()=--1=-
4α4α8αα+6α+1. 8α
1-α11令-1<<1,解得α<-(舍去)或α>. 4α35
1
(i)当0<α≤时,g(t)在(-1,1)内无极值点,|g(-1)|=α,|g(1)|=2-3α,|g(-
51)|<|g(1)|,所以A=2-3α.
11-α(ii)当<α<1时,由g(-1)-g(1)=2(1-α)>0,知g(-1)>g(1)> g().
54α又|g(
22
2
2
2
1-α(1-α)(1+7α)1-α
)|-|g(-1)|=>0,所以A=|g()|=4α8α4α
α+6α+1. 8α
??综上,A=?α+6α+11
,<α<1,
8α5??3α-2,α≥1.
2
12-3α,0<α≤,
5
(3)证明:由(1)得|f′(x)|=|-2αsin 2x-(α-1)sin x|≤2α+|α-1|. 1
当0<α≤时,|f′(x)|≤1+α≤2-4α<2(2-3α)=2A.
51α13
当<α<1时,A=++≥1,所以|f′(x)|≤1+α<2A. 588α4当α≥1时,|f′(x)|≤3α-1≤6α-4=2A,所以|f′(x)|≤2A.
?-ln x,0?ln x,x>1?
l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是
( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
9.A 不妨设P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中0
1
-,01??x,x>1,
1
2
1
2
11
得l1的斜率k1=-,l2的斜率k2=. x1x2
11
又l1与l2垂直,且0x1x2
l1:y=-(x-x1)-ln x1①,
x1l2:y=(x-x2)+ln x2②,
x2
则点A的坐标为(0,1-ln x1),点B的坐标为(0,-1+ln x2), 由此可得|AB|=2-ln x1-ln x2=2-ln(x1·x2)=2.
2-ln(x1x2)2
联立①②两式可解得交点P的横坐标xP==,
x1+x2x1+x2
11221
所以S△PAB=|AB|·|xP|=×2×=≤1,当且仅当x1=,即x1=1时,等
22x1+x21x1
x1+
1
1
x1
号成立.
而05ba12.B6、B7 已知a>b>1.若logab+logba=,a=b,则a=________,b=________.
211552
12.4 2 设t=logab,则logba=.∵a>b>1,∴0B8 幂函数与函数的图像
7.B8,B12 函数y=2x-e在的图像大致为( )
2
|x|
a11aa2
,b=(a)=aa,则a=a,即a-4a=0,
22