发布时间 : 星期日 文章因式分解之十字相乘法专项练习题更新完毕开始阅读
十字相乘法进行因式分解
学生姓名：刘家艺
【基础知识精讲】
（1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式；
（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式
多项式ax?bx?c，称为字母x的二次三项式，其中ax称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，x?2x?3和x?5x?6都是关于x的二次三项式．
在多项式x2?6xy?8y2中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．
2在多项式2ab?7ab?3中，把ab看作一个整体，即2(ab)?7(ab)?3，就是
2222222关于ab的二次三项式．同样，多项式(x?y)?7(x?y)?12，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．
十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般
规律是：
（1）对于二次项系数为1的二次三项式x?px?q，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式
2x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)
分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式ax?bx?c(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数a1,a2,c1,c2，使a1?a2?a，c1?c2?c，且a1c2?a2c1?b，
那么ax?bx?c?a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2)它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：5x?6xy?8y?(x?2)(5x?4) 3．因式分解一般要遵循的步骤
多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型热点考题】
例1 把下列各式分解因式：
22（1）x?2x?15；（2）x?5xy?6y．
22222点悟：（1）常数项－15可分为3 ×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数； （2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项6y可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．
2解：（1）x2?2x?15?(x?3)(x?5)； （2）x2?5xy?6y2?(x?2y)(x?3y)． 例2 把下列各式分解因式：
（1）2x?5x?3；（2）3x?8x?3．
点悟：我们要把多项式ax?bx?c分解成形如(ax1?c1)(ax2?c2)的形式，这里
222a1a2?a，c1c2?c而a1c2?a2c1?b．
解：（1）2x2?5x?3?(2x?1)(x?3)； （2）3x2?8x?3?(3x?1)(x?3)．
点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．
例3 把下列各式分解因式： （1）x?10x?9；
（2）7(x?y)3?5(x?y)2?2(x?y)； （3）(a?8a)?22(a?8a)?120．
点悟：（1）把x看作一整体，从而转化为关于x的二次三项式； （2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式； （3）以(a?8a)为整体，转化为关于(a?8a)的二次三项式． 解：（1） x?10x?9?(x?1)(x?9) ＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．
（2） 7(x?y)?5(x?y)?2(x?y)
324222222242222
?(x?y)[7(x?y)2?5(x?y)?2]
＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2] ＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)． （3） (a2?8a)2?22(a2?8a)?120
?(a2?8a?12)(a2?8a?10) ?(a?2)(a?6)(a2?8a?10)
点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．
因式分解之十字相乘法专项练习题
(1) a2－7a+6； (2)8x2+6x－35；
(3)18x2－21x+5； (4) 20－9y－20y2；
(5)2x2+3x+1； (6)2y2+y－6；
(7)6x2－13x+6； (8)3a2－7a－6；
(9)6x2－11x+3； (10)4m2+8m+3；
(11)10x2－21x+2； (12)8m2－22m+15；