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1.3.2-2函数奇偶性的应用
要点精析 【知识梳理】
1.函数的奇偶性与最值的关系 2. 求奇函数或偶函数的解析式 3. 函数的奇偶性与单调性的关系 4.函数的奇偶性的综合应用 【难点释疑】
一、函数的奇偶性与最值的关系
奇函数的最大值M与最小值m互为相反数，即M+m=0；若f(x)是奇函数，则f(x)+n的最大值M与最小值m的平均数是n，即M+m=2n. 二、求奇函数或偶函数的解析式
A2、已知f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x2+x+1，求f(x)的解析式．
点评：一般地，求哪个区间上的解析式，自变量x就设到哪个区间上. 再根据已知条件把自变量转化到已知解析式的区间上，利用已知的解析式进行求解. 解：∵f(x)是奇函数，f(0)=0 设x>0，则-x<0，
因为x<0时，f(x)=x2+x+1，∴f(-x)=(-x)2+(-x)+1= x2-x+1 又∵f(x)是R上的奇函数，故f(x)=-f(-x)=- x2+x-1
? x2?x+1,x?0?x?0. 所以f(x)??0,? -x2?x+1,x?0?三、奇函数与偶函数的单调性
1、结论：奇函数在关于原点的对称区间的单调性一致；偶函数在关于原点的对称区间的单调性相反. B1、已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在(0,+∞)上是增函数，求证：y=f(x)在(–∞,0)上也是增函数． 证明：设x1，x2是(–∞,0)上的任意两个实数，且x1＜x2，则-x1＞-x2＞0
∵函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数 ∴f(-x1)＞f(-x2)
又∵函数y=f(x)在R上是奇函数 ∴f(-x1)=-f(x1) ，f(-x2)=-f(x2) ∴-f(x1)＞-f(x2) 即f(x1)＜f(x2) ∴y=f(x)在(–∞,0)上也是增函数． 三、函数奇偶性的综合应用：
1、利用奇函数或偶函数的单调性及自变量大小，比较两函数值的大小； 一般遇到类似问题时，我们要根据函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间，再根据自变量的大小及函数的单调性比较出函数值的大小
B2、已知f(x)是偶函数，y=f(x-2)在[0，2]上是单调减函数，则f(-1)、f(0)、f(2)的大小顺序为 ． 答案：f(0) 解析：因为f(x)是偶函数，所以f(-1)=f(1)，又因为y=f(x-2)在[0，2]上是单调减函数，所以y=f(x) 在[-2， 0]上是单调减函数，故在[0，2]上是单调增函数，所以f(0) 2、利用奇函数或偶函数的单调性及函数值的大小，比较自变量的大小. 一般遇到类似问题时，我们都要根据函数的奇偶性用分类的方法，或取绝对值的方法自变量转化到同一个单调区间，再根据函数值的大小及函数的单调性比较出自变量的大小 交流研讨2、定义在[-2，2]上的偶函数f(x)，在[0,2]上是减函数，若f(1-m) 故原不等式等价于f(|1-m|) ??2?1?m?21?综上??2?m?2，解不等式得：-1?m?. 2?1?m＞m?