发布时间 : 星期四 文章2017上半年教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》(高级中学)及答案更新完毕开始阅读
(1) 如果你是这位数学教师，请指出这三种解法存在的错误；(9 分)
(2) 请你从已知条件|a-b|=|b|出发，通过数形结合，引导学生给出一种正
确的解法；(5 分)
(3) 针对学生在向量运算中的错误，请写出实数运算与向量运算的不同点
(至少写出三点)。(6 分)
【答案】
【解析】
(1) 学生 1 在解答过程中只关注了 a-b 与 b 同向与反向时，在两个向量模长相等时 a 与 b 满足的关系，但是忽略了 a-b 与 b 两个向量不共线的情况。学生 2 在解答过程中虽然注意到向量模长的性质即|a|2=a·a，但是在化简过程中把向量的数量积与实数的乘法产生了混淆，忽略了向量数量积的性质，即a·b=|a|·|b|cosθ，其中θ为两向量的夹角。学生 3 在解答过程中把向量的数量积当作实数相乘，忽略了向量数量积的性质，即 a·b=|a|·|b|cosθ，其中θ为两向量的夹角。
(2) 向量的线性运算不仅涉及向量的长度还涉及向量的方向。因此提出以下问题串引导学生思考。 问题 l：向量在进行线性运算加减法的时候，满足什么样的运算法则呢?
问题 2：三角形法则与平行四边形法则。两种方法在计算的过程中应根据向量的何种特征进行合理的选择呢?
问题 3：现在我们将 a 与 b 分两种情况进行讨论：①两向量有相同起点时， ②两向量首尾相连时。对两个向量进行减法的线性运算。现在大家动起手来一起在纸上画一画 a 与 b 满足何种位置关系时候，能够使得|a-b|=|b|。我们又可以借助那些特殊的图形对两个向量的位置关系进行描述呢?
那么接下来，大家继续借助等腰三角形 ABC，在其基础上画出 2b 与 a-2b， 那么你可以发现什么结论呢?继续画出 2a 与 2a-b，那么你又可以发现什么结论呢?
结论：根据向量的线性运算法则以及在三角形内角与边长的性质：大边对大角，△BCD 中 CD>BD，即|2b|>|a-2b|。而 a-2b，2a 与 2a-b 的关系无法判断， 故题目选 A。(见图 2)
(3) 向量元素与实数运算的本质区别在于，向量运算不仅涉及向量的长度，
还涉及向量的方向。
向量的线性运算与实数运算虽然在运算过程中均满足运算律：交换律、结合律、分配律，但是向量线性运算结果为向量.实数的运算结果为实数。
向量的数量积与实数运算虽然在运算过程中均满足运算律：交换律、分配律且运算结果均为实数，但实数的乘法满足消去律，向量的数量积则不满 足。
在实数运算中若 a≠0 且 ab=0 则 b=0 但在向量运算中若 a≠0 且 ab=0 则有两种情况 b=0 或 a⊥b。
六、教学设计题(本大题 1 小题，30 分)
17. 单调性是函数的基本性质之一。针对高中函数单调性中“增(减)函数”
概念的教学，请完成下面的任务：
(1) 给出“增(减)函数”概念形成过程中教学的重、难点；(8 分)
(2) 说明“增(减)函数”定义的要点；(10 分)
(3) 根据(2)中“增(减)函数”定义的要点，请写出教学设计思路。(12
分)
【答案】
【解析】
(1) 结合上述教学要求，将“增(减)函数”概念形成过程中教学的重难点确
立如下： 教学重点：从感知到认知上理解函数单调性的概念； 教学难点：归纳并理解抽象函数单调性的定义。
(2) 高中函数单调性中增减性的研究是对初中相关内容的进一步深化和提高，
具体给出了函数在某个区间是增函数或减函数的定义，其定义的要点：
①函数的单调性是相对于某个区间来说的；
②在增减函数形式化定义的形成过程中要注重从特殊到一般的过渡，也就是对定义中“任意”的理解。
(3) 活动一：展示学生熟悉的一次函数 y=x 和二次函数 y=x2，给出函数图
像，让学生从图像上获得“上升”“下降”的整体认识。
提问 1：它们的图像有什么规律，它反映了相应的函数值的哪些变化规 律?
活动二：针对二次函数 y=x2 给出下面表格：
要求学生结合上面的表格，用自然语言描述图像特征“上升”“下降”。
活动三：要求尝试运用数学符号将自然语言的描述上升到形式化的定义。
提问 2：在区间[0，+∞)上任意给定两个数值，计算它们对应的函数值进行比较，可以验证上述自然语言描述的“上升”，但不能保证“任意”，可否给出一般性的结论?
学生分析回答，教师总结归纳得出函数单调性的一般概念。