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（－2π，2π）. 16.答案：－
3 4解法一：设法求出sinθ和cosθ，cotθ便可求了，为此先求出sinθ－cosθ的值. 将已知等式两边平方得1＋2sinθcosθ＝
1 251变形得1－2sinθcosθ＝2－，
25即（sinθ－cosθ）2＝
49 25又sinθ＋cosθ＝
1，θ∈（0，π） 5图4—14 则
?2＜θ＜
3?，如图4—14 4所以sinθ－cosθ＝
7，于是 5sinθ＝
343，cosθ＝－，cotθ＝－.
45512，又θ∈（0，π），有cosθ＜025解法二：将已知等式平方变形得sinθ·cosθ＝－
＜sinθ，且cosθ、sinθ是二次方程x2－
1123x－＝0的两个根，故有cosθ＝－，
2555sinθ＝
43，得cotθ＝－.
45评述：本题通过考查三角函数的求值考查思维能力和运算能力，方法较灵活.
17.解：（1）y＝
3sinx＋cosx＝2（sinxcos
?6＋cosxsin
?6）＝2sin（x＋
?6），x∈R
y取得最大值必须且只需x＋
?6＝
?＋2kπ，k∈Z， 2 9
即x＝
?＋2kπ，k∈Z. 3所以，当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x|x＝（2）变换的步骤是：
①把函数y＝sinx的图象向左平移
?＋2kπ，k∈Z｝ 3?6?6，得到函数y＝sin（x＋）的图象；
②令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数 y＝2sin（x＋
?6）的图象；
经过这样的变换就得到函数y＝
3sinx＋cosx的图象.
评述：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力. 18.解：原式＝
111（1－cos40°）＋（1＋cos100°）＋（sin70°－sin30°） 222＝1＋
111（cos100°－cos40°）＋sin70°－ 224＝
31－sin70°sin30°＋sin70°
243131－sin70°＋sin70°＝.
2424＝
评述：本题考查三角恒等式和运算能力. 19.解：由题设sinα＝
?3，α∈（，π）， 52可知cosα＝－
34，tanα＝－ 54112tan?4，tanβ＝－，所以tan2β＝ ??221?tan2?3又因tan（π－β）＝
34??tan??tan2?7?43? tan（α－2β）＝
1?tan?tan2?1?124
10
20.证明：tanx1＋tanx2＝
sinx1sinx2sinx1cosx2?cosx1sinx2 ??cosx1cosx2cosx1cosx2?sin(x1?x2)2sin(x1?x2) ?cosx1cosx2cos(x1?x2)?cos(x1?x2)因为x1，x2∈（0，
?），x1≠x2， 2所以2sin（x1＋x2）＞0，cosx1cosx2＞0，且0＜cos（x1－x2）＜1， 从而有0＜cos（x1＋x2）＋cos（x1－x2）＜1＋cos（x1＋x2）， 由此得tanx1＋tanx2＞
2sin(x1?x2)，
1?cos(x1?x2)所以
x?x21（tanx1＋tanx2）＞tan1 22即
x?x21［f（x1）＋f（x2）］＞f（1）. 22221.已知函数f(x)?log1(sinx?cosx)
⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；
⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.
解（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及2k????x?2k??5?，k∈Z
44∴ 函数定义域为(2k??(2k???5,2k???)，k∈Z∵ sinx?cosx?2sin(x??)∴当x∈44412??∴ 函数值
2??5,2k???)时，0?sin(x?)≤1∴ 0?sinx?cosx≤2∴ y≥log14442域为[?1,??） 2（3）∵f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称,∴f(x)不具备奇偶性
（4）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号 22. 求函数f (x)=log1cos(x?213?4)的单调递增区间
1<1,∴当2解：∵f (x)=log1cos(x?213?4) 令t?1x??,∴y=log3412cost,t是x的增函数,又∵0<
11
y=log1cost为单调递增时,cost为单调递减 且cost>0,∴2k?≤t<2k?+
2? (k?Z),∴2k?≤21??3?3?1?≤x<6k?+ (k?Z),∴f (x)=log1cos(x?)的单调递减区间是x?<2k?+ (k?Z) ,6k?-24434342[6k?-
3?3?,6k?+) (k?Z) 4423. 已知f(x)=5sinxcosx-53cos2x+
53（x∈R） 2⑴求f(x)的最小正周期； ⑵求f(x)单调区间；
⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。 解：
（1）T=π （2）增区间[kπ-（3）对称中心（
?5511，kπ+π]，减区间[kπ+?,k???] 12121212k??k5，对称轴x????，k∈Z ?，0）
2122624若关于x的方程2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根，求实数a的取值范围。
解：原方程变形为：2cos2x ? sinx + a = 0 即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0,∴
17117,∵? 1≤sinx≤1 ,∴当sinx??1时，amin??； a?2sin2x?sinx?2?2(sinx?)2?4848当sinx?1时，amax?1, ∴a的取值范围是[?17,1] 8 12