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《电磁学》思考题和计算题 第四章
３１、半径为Ｒ的圆片上均匀带电，面密度为σ，令该片以匀角速度ω绕它的轴旋转，求轴
线上距圆片中心Ｏ为x处的磁场。 解：在圆片上取半径为x，宽为dx的环带， 环带所带的电荷量为 dq???2?xdx?2??xdx
? dBP?R ω O r Ｐ ?0x?dq4?r?x12?2??223/2???0x??2??xdx2??4?r?xxdx3?223/2??12?0???xdx3?r2?x23/2?
B?P?0???R0?r2?x2?3/2??22??0???r?x?2??1? ?22r?x??x?0r2x?R2?2?? ?1?0??r?2R?2r??
222??r?x??? 对应的磁矩为 m???SdI??R0?x2?????2?xdx??T?14??R?
-8
4?３２、氢原子处在正常状态（基态）时，它的电子可看作是在半径为a=0.53×10cm的轨道
（叫做玻尔轨道）上作匀速圆周运动，速率为v=2.0×10cm/s。求电子的这种运动在轨道中心产生的磁感强度Ｂ的值。
解：电子的运动相当于半径为R的圆电流，在圆心处产生的磁感强度大小为 B??0I2R?8
?0e2RT??0ev2R2?R??0ev4?R25?12.5T?1.25?10高斯
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４§4.3 磁场的高斯定理与安培环路定理
思考题：
１、（１）在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感强度Ｂ的大小在沿磁
感应线和垂直它的方向上是否可能变化（即磁场是否一定是均匀的）？ （２） 若存在电流，上述结论是否还对？
答：（１）磁场一定是均匀的。（２）存在电流时，磁场不均匀。证明如下——
Ｂ
作圆柱形高斯面，由高斯定理可证明Ｂ１＝Ｂ２；
Ｂ４ Ｂ作矩形环路，由环路定理，Ｌ不包围电流时，Ｂ３＝Ｂ４， ２ Ｌ包围电流时，Ｂ３≠Ｂ４
Ｂ１ Ｂ３ 136
《电磁学》思考题和计算题 第四章
２、 根据安培环路定理，沿围绕载流导线一周的环路积分为
?0RI2R?r02???B?dl??0I。现利用圆
形电流轴线上一点磁场的公式
B?，验算一下沿圆形载流线圈轴线的积分
?22?32???????B?dl??????Bdx??0I。为什么积分虽未绕电流一周，但与闭合环路积分的结果一样？
答：验算
??????????B?dl?2?Bdx?2?00?0RI2R?r02?22?32dx??0RI?2?dx0?R2?r02?3??0I
2 此结果与闭合环路积分的结果一致。原因是对于有限的电流分布来说，无限远处磁场为
零。可以想象在无限远处，从－∞到＋∞连结一条曲线Ｌˊ，使积分闭合，但在Ｌˊ段，由于Ｂ＝０，对环路积分无贡献。 ３、
试利用B??0nI和安培环路定理，证明无限长螺线管外部磁场处处为零。这个结论
Ｌ 答：由对称性可知，螺线管内外任一点的磁感强度的方向必
定都平行于轴线。作矩形安培环路Ｌ，使其长为l的一边沿螺线管的轴线，对边在螺线管外，其上各点的磁感强度为Ｂ０
Ｉ ??B?dl??0nIL?B0L??0nI
成立的近似条件是什么？仅仅“密绕”的条件够不够？
Ｉ
? 即 Ｂ０＝０
这一结论成立的近似条件是：
密绕螺线管，且螺线管长>>螺线管半径Ｒ。
４、
在一个可视为无穷长密绕的载流螺线管外面环绕
??一周，环路积分?B?dl等于多少？ ??答：?B?dl??0I
Ｌ Ｉ Ｉ
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 习题： １、
一载有电流Ｉ的无穷长直空心圆筒，半径为Ｒ（筒壁厚度可以忽略），电流沿它的
轴线方向流动，并且是均匀地分布的。分别求离轴线为r
?B1?0(r?R)??? （在r=R的面上，Ｂ＝（Ｂ１＋Ｂ２）／２） ?0IB?dl??0I??B2?(r?R)?2?r?
?137
《电磁学》思考题和计算题 第四章
２、 有一根长的载流导体直圆管，内半径为a，外半径为b，电流强度为Ｉ，电流沿轴线方
向流动，并且均匀地分布在管壁的横截面上。空间某一点到管轴的垂直距离为r。求： （１） r
??B1?0(r?a)????0Ir2?a2?B?dl??0I??B2?(a?r?b) 222?rb?a???0IB?(r?b)?22?r?I a b ?３、 一很长的导体直圆管，管厚为5.0mm，外直径为50mm，载有50A的直流电，电流
沿轴向流动，并且均匀地分布在管的横截面上。求下列几处的磁感强度Ｂ的大小： （１） 管外靠近外壁； （２） 管内靠近内壁； （３） 内外壁之间的中点。 解： 根据对称性和安培环路定理可求得
（１）B1??0I2?r?r?R?0I2?R?4.0高斯
（２）B2?0
（３）B3?４、
?0Ir2?a22?rb?a22R?(a?b)/2?2.1高斯
电缆由一导体圆柱和一同轴的导体圆筒构成。使用时，电流Ｉ从一导体流去，从另
一导体流回，电流都是均匀地分布在横截面上。设圆柱的半径为r1,圆筒的内外半径分别为r2和r3。r为到轴线的垂直距离，求磁感强度的分布。 解：根据对称性和安培环路定理
??B1?????B2B?dl??0I????B2???B2??0I2?r12(r?r1)????0I2?rr1 (r1?r?r2)232
r2 r3 I ?0Ir?r2?rr32?r22(r2?r?r3)?0(r?r3)138
《电磁学》思考题和计算题 第四章
５、 一对同轴无穷长直的空心导体圆筒，内、外半径分别为Ｒ１和Ｒ２（筒壁厚度可忽略）。
电流Ｉ沿内筒流去，沿外筒流回。 （１） 计算两筒间的磁感强度Ｂ；
（２） 通过长度为Ｌ的一段截面的磁通量Φ。 解： （１）应用安培环路定理可求得
两筒之间 B??0I2?rI a b
???IB?dS?02? （２）通过长度为Ｌ的一段截面的磁通量????R2LdrrR1??0IL2?lnR2R1
６、 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示。
（１） 求环内磁感强度的分布；
（２） 证明通过螺绕环截面的磁通量为 ???0NIh2?lnD1D2
解： （１）应用安培环路定理可求得，
螺绕环内部 B??0NI2?rＤ２ h Ｄ１
（２）通过螺绕环截面的磁通量
???NIB?dS?02?R2????hdrrR1??0NIh2?lnD1D2
７、 应用安培环路定理，求无限大均匀载流平面外的磁感强
z y 度。
解：取安培环路如图所示，矩形回路的两长边与载流平面平行，且 与载流平面等距离， 应用安培环路定理
O x ???B?dl?BL?BL?2BL??0iL
B?12?0i
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