发布时间 : 星期六 文章高数 数项级数收敛性判别法总结论文更新完毕开始阅读
散。
总结 ： 此定理应用广泛。 五、积分判别法
?P?1对于P级数 ? 有P为实数，总结如下：当 时，npn?11级数发散。当
P?1 时，级数收敛。
总结：积分判别法时一种最普遍的方法。
定理[2.1] [高等数学：第三版 科学出版社]
?an 六、比值判别法 已知级数 ?n?1（1）若 n??（2）若 n??limlimaan?1?l?1 ，则级数绝对收敛，从而收敛
limnaan?1?l?1 ，或 n??naan?1??? 则级数发散
n（3）若 n??limaan?1?l?1 ， 则级数可能收敛，可能发散，需用其他
n方法判别其收敛性。
?例如：判别 ?解：
3n?1n?13n 的收敛性
由于 U?n?13(n?1)?13n?1 ， U=n3n?13n ，
3(n?1)?1Ulim Un??n?1n?lim3n?1n??3n?1?13?1
3n 所以级数收敛。
总结：此判别法又称为 达朗贝尔（DAlembert 判别法） 是应用最广泛的判别法。
?an 七、定理12.12（极值判别法），已知级数 ?n?1（1）若 n??limnann?L＜１ ，则级数绝对收敛，从而收敛。 或 n??limn（2）若 n??（3）若 limn??limaan?L＞１an?＋? ，则级数发散。
nn?L＝１ ，则级数可能收敛也可能发散。需要
用其他判别法判断其收敛性。
? 例如：判定级数 ?1n?12n?(?1)n?(1+18+14+132+1101+...) 的收敛性
1解： n??lim(12n?(?1)n)n?lim(n??12?2n(?1)n)n?lim1221nn???12?1(?1)
n 由极限判别法可知，级数收敛。
?an 总结：例题为正项级数，极值判别法可用于判别正项级数 ?n?1的敛散性，形式类似于比值判别法，应用也比较广泛。
八、定理 12.7 比较判别法的极限形式 【高等数学 科学出版社】
??an ?bn 是两个正项级数 设?n?1n?1（1）若 n??limabnn?c ，且c?0 ，则两个级数有相同的敛散性。
???alim（2）若 bn??nn?bn 发散可推出?an 发 ， 则由级数 ?n?1n?1散 。
alim（3）若
bn??nn?0 ，则 ?bn 收敛 ，可推出 ?an 收敛。
n?1n?1???例如：判别级数 ? 的敛散性 n?13n?1?1 解： 选择 ?n 作为参考级数，由于 limn?1113n?11nn???13?0
? 而级数 ? 发散，根据定理，则此级数发散。 n?1n
九、定理 12.6 比较盘被罚 [高等数学 科学出版社]
??1an ，?bn 是两个正项级数 设 ?n?1n?1??an?bn (n=1,2,3....) ，则级数 ?an bn 收敛，（1）若级数 ?且 n?1n?1也收敛
??bn 收敛，且an?bn (n=1,2,3....) ，则 ?an 也（2）若 ?n?1n?1发散
?例如：判别级数 ?n?1 解： 因为
?1n13n 的收敛性
?1??nUn?n3n3n
?1 而级数?1n?13n 为
1q?13 等比级数 ，是收敛的，所以
? ?n?1n3n 是收敛的。
定理八九总结：
使用比较判别法及其极限形式时，常常以等比级数和P级数作为比较标准。
十、交错级数敛散性的判别法 [高等数学 科学出版社] 定理12.8 [高等数学 科学出版社]【莱布尼茨定理】
(?1) 设交错级数 ?n?1?n?1an (an?0) ，如果 an 满足条件：
2,3...)（1） {an} 是单调减少数列，即 an?1?an(n=1，
an?0 则该交错级数收敛，否则发散。 n??（2） lim 例如： 判别级数
1?12?13?14?...(?1)n1n?... 的收敛性。
?n?11n?1 解：该级数为交错级数，U(1) U11???nnn?11?nn U 且满足
Un?1 (n=1，2，3...)
(2) n??Ulim1?lim?0nn??n 所以级数收敛。