发布时间 : 星期三 文章2020届新高考数学艺考生总复习第七章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系冲关训练更新完毕开始阅读
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．(2019·上饶市一模)已知直线x＋ay＋2＝0与圆x＋y＋2x－2y＋1＝0有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．a＞0 B．a≥0 C．a≤0 D．a＜0
解析：C [圆x＋y＋2x－2y＋1＝0，即(x＋1)＋(y－1)＝1的圆心(－1,1)，半径为1，∵直线x＋ay＋2＝0与圆x＋y＋2x－2y＋1＝0有公共点，
∴
|－1＋a＋2|
≤1，∴a≤0，故选C.] 2
1＋a2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2．(2019·兰州市模拟)已知圆C：(x－1)＋(y－4)＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围为( )
A．[－2,6] C．[2,6]
B．[－3,5] D．[3,5]
2
2
解析：C [由题意，|CM|≤10×2，∴(5－1)＋(t－4)≤20，∴2≤t≤6，故选C.] 3．(2019·开封市模拟)直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)＋(y－2)＝4相交于A、B两点且|AB|＝22，则a＝( )
A．1 B3 C．2 D．3 解析：A [圆的圆心为(1,2)，半径为2， ∵|AB|＝22，
∴圆心到直线AB的距离d＝4－2＝2，即
|a＋1|
2
2
a＋1
2
＝2，解得a＝1.故选：A.]
4．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)＋y＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] C．[2，32]
B．[4,8] D．[22，32 ]
2
2
解析：A [∵直线x＋y＋2＝0分别于x轴，y轴交于A，B两点，∴A(－2,0)，B(0，－2)，∴|AB|＝22，
∵点P在圆(x－2)＋y＝2上，∴圆心为(2,0)，设圆心到直线的距离为d，则d＝|2＋0＋2|1
＝22.故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d′的范围是[2，32]，则S△ABP＝
22|AB|d′＝2d′∈[2,6]．]
5．(2019·福州市模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)＋y＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )
2
2
2
2
A．y＝－C．y＝－
3 43 2
2
2
1
B．y＝－
21
D．y＝－
4
解析：B [圆(x－1)＋y＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝1－1
2
＋－2－0
2
＝2为直径的圆的方程为(x－1)＋(y＋1)＝1，
22
1
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－. 故选B.]
2
6．(2019·信阳市质检)直线ax＋by＋c＝0与圆C：x－2x＋y＋4y＝0相交于A，B两→→→
点，且|AB|＝15，则CA·CB＝________.
解析：圆C：x－2x＋y＋4y＝0?(x－1)＋(y＋2)＝5，
2
2
2
2
2
2
如图，过C作CD⊥AB于D， |AB|＝2|AD|＝2|AC|· sin∠CAD，
∴15＝2×5×sin ∠CAD，∴∠CAD＝30°， →→
∴∠ACB＝120°，则CA·CB＝5×5×cos 120° 5＝－.
25
答案：－
2
7．点P在圆C1：x＋y－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x＋y＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，得(x－4)＋(y－2)＝9，(x＋2)＋(y＋1)＝4.圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d＝
4＋2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
＋2＋1
2
＝35.所以，|PQ|的最小值是35－5.
答案：35－5
8．已知圆O：x＋y＝8，点A(2,0)，动点M在圆上，则∠OMA的最大值为________． 解析：设|MA|＝a，因为|OM|＝22，|OA|＝2，由余弦定理知cos∠OMA＝|OM|＋|MA|－|OA|
＝
2|OM|·|MA|
2
2
22
2
22
2
＋a－2
22
2×22a＝?4?1·2·?＋a?≥42?a?42
1
4
a·a＝
2，当且仅当a2
ππ
＝2时等号成立．所以∠OMA≤，即∠OMA的最大值为.
44
π
答案：
4
9．已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)＋(y－2)＝4. (1)求过点M的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；
(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值． 解：(1)由题意知圆心的坐标为(1,2)，半径r＝2， 当过点M的直线的斜率不存在时，方程为x＝3.
由圆心(1,2)到直线x＝3的距离d＝3－1＝2＝r知，此时，直线与圆相切． 当过点M的直线的斜率存在时，
设方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0. |k－2＋1－3k|3
由题意知2＝2，解得k＝.
4k＋－123
∴方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
4故过点M的圆的切线方程为x＝3或3x－4y－5＝0. (2)由题意有4
＝2，解得a＝0或a＝.
3a2＋－12
|a＋2|
|a－2＋4|
2
2
(3)∵圆心到直线ax－y＋4＝0的距离为a2＋1
，
∴?
3?|a＋2|?2?23?2
＋＝4，解得a＝－. ???2
4?a＋1??2?
2
2
10．过平面内M点的光线经x轴反射后与圆C：x＋(y－2)＝2相切于A，B两点． (1)若M点的坐标为(5,1)，求反射光线所在直线的方程； 314
(2)若|AB|＝，求动点M的轨迹方程．
4
解：(1)由光的反射原理知，反射光线所在直线必过点(5，－1)，设反射光线所在直线的斜率为k，则此直线方程可以设为y＋1＝k(x－5)，即kx－y－5k－1＝0(*)．
又反射光线与圆C：x＋(y－2)＝2相切， |－2－5k－1|7所以＝2，解得k＝－1或－，
23k2＋1
代入(*)化简整理，得反射光线所在直线的方程为x＋y－4＝0或7x＋23y－12＝0. (2)设动点M的坐标为(x，y)(y≥0)，则反射光线所在直线必过点M关于x轴的对称点
2
2
Q(x，－y)，设动弦AB的中点为P，
314
则|AP|＝，故|CP|＝
8
2?314?2
2－??＝8. ?8?
2
由射影定理|CP|·|CQ|＝|AC|，得|CQ|＝
228
＝82，即x＋－y－2
22
＝82，即
x2＋(y＋2)2＝128(y≥0)．