发布时间 : 星期一 文章2014年数学中考二轮专题复习讲义：方案设计型问题更新完毕开始阅读
2014年数学中考二轮专题复习讲义：方案设计型问题
【考纲要求】
方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息，能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必然在中考中盛久不衰，它的出现改变了学生以往只依赖于模仿和记忆的“重结果，轻过程”的学习方式，这不仅有利于培养学生动手操作和实践活动的能力，更为重要的是能够让学生养成用数学的意识．
【命题趋势】
方案与设计问题是指解决问题的方案决策问题，同一个问题往往有多种不同的解决方案，但其中最科学、最合理的方案常常仅有一种．随着课程改革的全面展开和逐步深化，有利于考查学生创新意识和实践能力的方案设计问题已经成为中考命题的一大热点．
题型分类 、深度剖析：
考点一、利用不等式(组)进行方案设计：
例1、(2013·益阳)“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行，现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石．
(1)求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？
(2)随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．
解：(1)设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，由题意，得
?x＋y＝12，????8x＋10y＝110，
解得?
?x＝5，???y＝7.
∴“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆．
(2)设载重量为8吨的卡车增加了z辆，则载重量为10吨的卡车增加了(6－z)辆，由题意，得
58(5＋z)＋10(7＋6－z)＞165，解得z＜. 2∵z≥0且为整数，∴z＝0,1,2. ∴6－z＝6,5,4.
∴车队共有3种购车方案：
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①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买 6辆；
②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆．
归纳：(1)当利用不等关系来确定取值范围时，要结合不等式的取值范围来讨论； (2)当利用方程来确定取值范围时，往往利用解的整数性来解答． 考点二、利用函数进行方案设计：
例2、(2013·襄阳)某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折(按标价的90%)销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB(元)．请解答下列问题：
(1)分别写出yA和yB与x之间的关系式；
(2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
(3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案． （1）解：yA＝27x＋270 yB＝30x＋240
(2) 当yA＝yB时，27x＋270＝30x＋240，解得x＝10； 当yA＞yB时，27x＋270＞30x＋240，解得x＜10； 当yA＜yB时，27x＋270＜30x＋240，解得x＞10.
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算；当x＝10时，两家超市都一样；当x＞10时，到A超市购买划算．
(3)∵x＝15＞10，
∴①选择在A超市购买，yA＝27×15＋270＝675(元)；
②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球10×15－20＝130(个)，则共需费用：10×30＋130×3×0.9＝651(元)．
∵651＜675，
∴最省钱的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．
归纳：在利用函数解决实际问题时，要注意其实际意义，确定自变量的取值范围是解决函数最值的关键．
考点三、利用几何知识进行方案设计：
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例3、(2013 ·衡阳)一种电讯信号转发装置的发射直径为 31 km.现要求：在一边长为 30 km 的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
(1)能否找到这样的 4 个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图 Z5-1(1)中画出安装点的示意图，并用大写字母 M，N，P，Q 表示安装点；
(2)能否找到这样的 3 个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在下图中画出示意图说明，并用大写字母 M，N，P 表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．
解：(1)如图，将正方形等分成 4 个小正方形，将这4 个转发装置安装在这 4 个小正1
方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为×30 2＝15 2＜31，每个转
2发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装 4 个这种装置可以达到预设的要求．
(2)方法一，将原正方形分割成如图 Z5-2(2)中的 3 个矩形，使得 BE＝OD＝OC.将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处．设 AE＝x，则 ED＝30－x，DH＝15，由 BE＝OD，得 x215
＋302＝(30－x)2＋152解得x＝.BE＝
4发装置，能达到预设要求．
方法二，将原正方形割成如图Z5-2(2)中的3个矩形，使得BE＝31，H 是CD 的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则AE＝31－30＝61，DE＝30－61，
∴OD＝30－61＋15≈26.8＜31. 即如此安装3 个这个转发装置，也能达到预设要求．
归纳：几何图形的分割、组合设计在中考中常出现，有时是根据面积相等来分割，有时是根据线段间的关系来分割．解决这类问题的关键是要抓住组合前后两个图形之间的联系，列出必要的关系式进行解答．
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?15?2＋302≈30.2<31，即如此安装3 个这种转?4???
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