发布时间 : 星期日 文章西安交通大学复变函数与积分变换试卷（B卷）及参考答案更新完毕开始阅读
?1111f(z)??????(?1)n?1(z?1)n； (z?2)(z?1)z?11?(z?1)z?1n?0在圆环域1?|z?1|???上的Laurent级数为 111111 f(z)??????1(z?2)(z?1)z?1(z?1)?1z?1z?11?z?111?1n?1nnn??(?1)()?(?1)() ??z?1z?1n?0z?1z?1n?2： 三、（10分）求一个函数w?f(z)，使得它把上半单位圆盘{z:|z|?1,Im(z)?0}共形地映射成上半平面{w:Im(w)?0}. 解：显然满足z1(?1)?0，z1(0)?1，z1(1)??的分式线性映射z1??z?1. z?1?可把{z:|z|?1,Im(z)?0}变成角形域{z1:0?argz1?}； 2而z2?z12可将该角形域变成上半平面{z2:Im(z2)?0}； z?i而w?2可将{z2:Im(z2)?0}变成单位圆盘{w:|w|?1}； z2?i故它们的复合映射 z?12(?)?i(z?1)2?i(z?1)2z?1 w??22z?12(z?1)?i(z?1)(?)?iz?1即为满足要求的一个映射. 四、（10分）用留数计算广义积分解：有理函数f(z)???cosxdx. 22?(x?1)(x?4)????1的分母次数=分子次数+4，且该函数在在实22(z?1)(z?4)轴上无奇点，而在上半平面仅有两个奇点i，2i；故 cosxdx 22?(x?1)(x?4)??eixeizeiz=?2dx?2?i(Res[2,i]?Res[2,2i]) 222(x?1)(x?4)(z?1)(z?4)(z?1)(z?4)????e?1e?2e?1e?2?2?i(?)??(?) 6i?12i36 五、（10分）用Laplace变换解微分方程的初值问题： x???x??2x?et?1，x(0)?x?(0)?0. 、解：设?[x(t)]=X(s)，方程两边求Laplace变换，得到 11s2X(s)?sX(s)?2X(s)??； s?1s将x(0)?x?(0)?0代入，得 11(s2?s?2)X(s)??； s?1s解出 11111111X(s)?(?)?(???)； s?1s(s?2)(s?1)2s?2s?1ss?1求Laplace逆变换，得到 1x(t)?(e2t?e?t?et?1) 2 西安交通大学考试题 成绩 课 程 复变函数与积分变换(B卷)解答 系 别 考 试 日 期 2006 年 1 月 日 专业班号 姓 名 学 号 期中 期末 一、解答下列各题（每小题5分，共60分） 3、解：Cauchy-Riemann方程，ay?2y，ax??2bx，解出 a?2，b??1. 2、解：(1?i)2i?exp(2i?Ln(1?i))?exp(2i(ln2?iArg(1?i))) ??exp(2i(ln2?i(?2k?)))4 ??exp((??4n?)?i(ln2))2?e???4n?2?(cos(ln2)?isin(ln2))；其中n?Z； ?其主值为e2(cos(ln2)?isin(ln2)). 4、解：用Cauchy积分公式， ezsinzdz?2?i(ezsinz)|z?2?2?i?e2sin2. ?z?2C4、解：用高阶导数公式， e2z?62?i2z2?i(2)dz?(e?6)|?4?4?i z?03?z2!2!C??n?n??isin5、解：in?(cos?isin)n?cos， 2222n?1n?sin(k?)??sin??cos?2的收敛性分别与cosk?和2的相同，由高等2和????n2k?1n2kn?1k?1n?1k?1数学中的Leibniz判别法，后两个级数收敛，故前两个也收敛，所以 ?ni收敛。 ?n?1n
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6、解：记cn?n?5cn，则，所以收敛半径为1。 ||?1（n???）5ncn?17、解：g(z)?ez?1的零点为2k?i（k?Z），显然它们都是孤立零点； 而g'(2k?i)?e2k?i?1?0，所以这些点都是g(z)的1级零点； 但其中z?0是分子z2的2级零点，所以，z?0是函数f的可去奇点， 其他的2k?i（k?Z,k?0）都是f的1级极点. 8、解：z?0是f的1级极点，所以 ezsinzezsinzRes[f(z),0]?Res[,0]?lim(z)?1. 22z?0zz9、解：f(z)?由留数定理， z在复平面上有两个奇点 i，?i，且都包含在曲线C内； z2?1zzzdz?2?i(Res[,i]?Res[,?i]) 222??z?1z?1z?1C?2?i(i?i?)?2?i 2i?2iz?1在C上无奇点，知 z 10、解：由分式线性映射的保圆性，以及w?z?1将C变成圆周. zz?11由w?，得z?，而C:|z|?1， zw?1故象曲线为|w?1|?1；或 映射w?(u?1)2?v2?1. 11、解：? [u(t)]=所以 ?[f(t)]= ? [u(t)] + ? [sint]=1???(?)+j?(?(??1)??(??1)) j?1???(?)，? [sint]=j?(?(??1)??(??1))， j? 共 4 页 第 2 页