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例说高中数学类比推理
《新课程标准数学科高考考试大纲》在选修1-2中，明确要求“能利用归纳和类比等进行简单的推理”。 类比是一种思维形式，是根据两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在另一属性上相同或相似的一种推理方法。类比是人们对客观事物思维的能动反映，它为科学假设和猜想提供思维模式，因此，类比成为人们发现真理的动力。物理学家开普勒说过：“我珍爱类比胜于一切，它是我可信赖的主人，它了解自然的所有秘密……” 类比推理的形式如下： 对象A具有属性a，b，c，d； 对象B具有属性a，b，c； 所以对象B具有属性d.
这里的A，B可以是不同领域的两种事物，只要有某种类似。由此可知，类比是逻辑推理方法中最富于创造性的一种方法，因为类比法不必像归纳法那样局限于同类事物，更不像演绎法那样受到一般原理的制约。下面就高中数学类比推理的几种类型举例说明。
一、函数与方程型
例1.（2001年上海高考题）已知两个圆x2+y2=1①与x2+（y-3）2=1②，则由①减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将
上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即得一个更一般的命题，而已知命题是所推广命题的一个特例，推广的命题为 。 解：由对称性知，两圆半径相等，而圆心位置不同时才有对称轴方程，所以可填：已知两圆（x-a）2+（y-b）2=R2和（x-c）2+（y-d）2=R2（a≠c或b≠d），则此两方程相减可得这两个圆的对称轴方程。
二、等差数列与等比数列型 请看下表： ■
等差数列和等比数列的内容有明显的类似性，它们的对应命题之间存在着有趣的对应规律：等差数列各公式中的加、减、乘、除，正好分别对应着等比数列中的乘、除、乘方、开方。 例2.（选修1-2）在等差数列{an}中，若a10=0，则有：a1+a2+…+an=a1+a2+…a19-n（n 显然有：x2+y2+z2=α2所以，应填S2△ABC+S2△ACD+S2△ABD=S2△BCD 四、解析几何型（圆与椭圆，椭圆与双曲线型） 例6.设F1、F2分别是椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左右两个焦点，已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值，试对双曲线C：■+■=1，写出具有类似的性质，并加以证明。
解：类似性质为：若M，N是双曲线■+■=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值。证明如下：
设M（x0，y0），P（m，n），则N（-x0-y0），∴kPM?kPN=■?■=■又P、M点在双曲线上，所以，■-■=1① ■-■=1②
①-②得：■=■，∴■=■即得证 类比练习题：
1.已知等式：sin230°+sin230°+sin30°?sin30°=■， sin240°+sin220°+sin40°?sin20°=■
请你写出一个具有一般性的等式，使所写的等式包含了已知的等式。并证明你的等式。
2.设平面向量■=（x1，y1），■=（x2，y2），当且仅当x1x2+y1y2=0时，有■⊥■。将此结论类比到空间中，设有■=（x1，y1，z1），■=（x2，y2，z2），当且仅当 时，有■⊥■？ 3.PP′是椭圆■+■=1（a>b>0）的任一条平行于y轴的弦，A，A′是x轴上的两个顶点，直线A′P′与AP交于点Q，求证点Q的轨迹是■+■=1。把椭圆类比双曲线，结论如何？ 类比思维、推理的重要性日益受到人们的重视，新的课程设置把类比推理纳入到选修教材中，告诉我们高中数学教学要加强培养学生的类比思维、推理。近年高考出现大量的类比试题，值
得我们重视、深思。