发布时间 : 星期一 文章2020学年高中数学 第三章 导数在研究函数中的应用 3.3.3 最大值与最小值学案 苏教版选修1-1更新完毕开始阅读
3.3.3 最大值与最小值
学习目标：1.能够区分极值与最值两个不同的概念． 2.掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．函数的最大值与最小值
如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)(f(x)≥f(x0))，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值(最小值)．
2．求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 第一步，求f(x)在区间(a，b)上的极值；
第二步，将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值．
[基础自测]
1．判断正误：
(1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( )
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( ) 1332
【解析】 (1)×.反例：f(x)＝x－x＋2x＋1在[0,10]的最大值是f(10)，而不是其
32极大值f(1)．
(2)√.因为函数是单调函数，故无极值，又因为是开区间，所以最值不可能在区间端点上取到，故正确．
(3)×.反例：f(x)＝－x在[－1,1]上的最大值为f(0)＝0，不在区间端点取得． 【答案】 (1)× (2)√ (3)×
2．已知函数y＝x－x－x，该函数在区间[0,3]上的最大值是________． 【解析】 y′＝3x－2x－1，由y′＝0得3x－2x－1＝0， 1
得x1＝－，x2＝1.
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∵f(0)＝0，f(1)＝－1，f(3)＝27－9－3＝15， ∴该函数在[0,3]上的最大值为15. 【答案】 15
[合 作 探 究·攻 重 难]
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1
求函数的最值 求函数f(x)＝2x－12x(x∈[－1,3])的最值．
[思路探究] 求f′(x)，研究f(x)在[－1,3]上的极值，并与f(－1)，f(3)比较确定最值．
【自主解答】 f′(x)＝6x－12＝6(x－2)＝6(x＋2)(x－2)． 由f′(x)＝0得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
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x f′(x) －1 (－1，2) － ↘ 2 0 －82 (2,3) ＋ ↗ 3 18 10 f(x) 由上表知函数f(x)的最小值是－82，最大值是18. [规律方法] 求一个函数在闭区间上的最值，只需先求出函数在闭区间上的极值，然后比较极值与区间端点处的函数值的大小，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值.
[跟踪训练]
1．求函数f(x)＝x(1－x)，x∈[0,1]的最值.
【导学号：95902236】
【解】 易知f′(x)＝1－3x.令f′(x)＝1－3x＝0，则x＝± 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2
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. 3
x f′(x) 0 3???0，? 3??＋ 3 30 23 9?3??，1? ?3?－ 1 0 f(x) ↗ ↘ 0 23由上表知f(x)的最大值为，最小值为0. 9含参数的函数最值问题 a为常数，求函数f(x)＝－x＋3ax(0≤x≤1)的最大值．
[思路探究] 此题是求函数在闭区间上的最值问题，要注意对参数a进行分类讨论． 【自主解答】 f′(x)＝－3x＋3a＝－3(x－a)．
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3若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0. 若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±a.因为x∈[0,1]，所以只需考虑x＝a的情况． (1)0＜a＜1，即0＜a＜1时，当x＝a时，f(x)有最大值f(a)＝2aa.(如下表所示)
x f′(x) (0，a) ＋ ↗ a 0 2aa (a，1) － ↙ f(x) (2)a≥1时，即a≥1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增， 当x＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝3a－1. 综上可知，当a≤0时，x＝0时，f(x)有最大值0. 当0＜a＜1时，x＝a时，f(x)有最大值2aa. 当a≥1时，x＝1时，f(x)有最大值3a－1.
[规律方法] 求函数在闭区间上的最值时，如果含有参数，则应进行分类讨论，由于函数的最值只能在极值点或端点处取得，所以只需比较极值点和端点处的函数值的大小即可，最后再将讨论的情况进行合并整理.
[跟踪训练]
2．已知函数f(x)＝g(x)·h(x)，其中函数g(x)＝e，h(x)＝x＋ax＋a. (1)求函数g(x)在(1，g(1))处的切线方程；
(2)当0＜a＜2时，求函数f(x)在x∈[－2a，a]上的最大值；
【导学号：95902237】
【解】 (1)g′(x)＝e，故g′(1)＝e， 所以切线方程为y－e＝e(x－1)，即y＝ex.
(2)f(x)＝e·(x＋ax＋a)，故f′(x)＝(x＋2)(x＋a)e，令f′(x)＝0，得x＝－a或
x2
x2
xxx＝－2.
①当－2a≥－2，即0＜a≤1时，f(x)在[－2a，－a]上单调递减，在[－a，a]上单调递增，
所以f(x)max＝max{f(－2a)，f(a)}． 由于f(－2a)＝(2a＋a)e
2
－2a，f(a)＝(2a＋a)e，故f(a)＞f(－2a)，所以f(x)max＝f(a)．
2a②当－2a＜－2，即1＜a＜2时，f(x)在[－2a，－2]上单调递增，在[－2，－a]上单调递减，在[－a，a]上单调递增，
所以f(x)max＝max{f(－2)，f(a)}．
由于f(－2)＝(4－a)e，f(a)＝(2a＋a)e，
－2
2
a 3
故f(a)＞f(－2)， 所以f(x)max＝f(a)．
综上得，f(x)max＝f(a)＝(2a＋a)e.
2
a由函数的最值求参数的值(范围) [探究问题]
1. (1)若对任意的x∈[1,2]，都有a≥x成立，则实数a的取值范围是什么？ (2)若对任意的x∈[1,2]，都有a≤x成立，则实数a的取值范围是什么？ 【提示】 (1)a≥2 (2)a≤1.
2．(1)若存在x∈[1,2]，使a≥x成立，实数a的取值范围是什么？ (2)若存在x∈[1,2]，使a≤x成立，实数a的取值范围是什么？ 【提示】 (1)a≥1 (2)a≤2.
3．已知函数y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值为ymax，最小值为ymin，
(1)若对任意的x∈[m，n]，都有a≥f(x)成立，实数a的取值范围是什么？ (2)若对任意的x∈[m，n]，都有a≤f(x)成立，实数a的取值范围是什么？ 【提示】 (1)a≥ymax (2)a≤ymin
4．已知函数y＝f(x)，x∈[m，n]的最大值为ymax，最小值为ymin， (1)若存在x∈[m，n]，使a≥f(x)成立，实数a的取值范围是什么？ (2)若存在x∈[m，n]，使a≤f(x)成立，实数a的取值范围是什么？ 【提示】 (1) a≥ymin (2)a≤ymax
已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x＋ax－3，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)
恒成立，求实数a的取值范围；
[思路探究] 把a分离出来，转化为求函数的最值问题．
【自主解答】 由题意知2xln x≥－x＋ax－3对一切x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≤2ln
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x＋x＋，设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)，则h′(x)＝xx33x＋3
x2x－1
. 当x∈(0,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，所以a≤h(x)min
＝4.
即实数a的取值范围是(－∞，4] [规律方法]
1．“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，
一般地，可采用分离参数法进行转化．λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成
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