发布时间 : 星期三 文章[推荐]2019高中数学第一章不等关系与基本不等式不等式的性质学案北师大版选修450035更新完毕开始阅读
§1 不等式的性质
1．理解用两个实数差的符号来规定两个数大小的意义，掌握求差比较法和求商比较法． 2．掌握不等式的性质，并能进行证明．
3．会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法、反证法证明简单不等式．
1．实数大小的比较 (1)求差比较法．
①a＞b?______；②______?a－b＜0；③a＝b?______．
判断两个实数a与b的大小归结为判断它们的差a－b的符号，至于差究竟是多少则是无关紧要的．
(2)求商比较法．
当a＞0，b＞0时，①＞1?______；②______?a＜b；③＝1?______． 答案：(1)①a－b＞0 ②a＜b ③a－b＝0 (2)①a＞b ②＜1 ③a＝b
【做一做1－1】比较大小：x＋3__________3x(其中x∈R)．
1618
【做一做1－2】比较18与16的大小． 2．不等式的性质
(1)性质1：如果a＞b，那么______；如果b＜a，那么______． (2)性质2：如果a＞b，b＞c，那么______． (3)性质3：如果a＞b，那么a＋c＞______． 推论：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞______．
(4)性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac____bc；如果a＞b，c＜0，那么ac____bc． 推论1：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞____．
22
推论2：如果a＞b＞0，那么a____b．
nn推论3：如果a＞b＞0，那么a____b(n为正整数)． 推论4：如果a＞b＞0，那么a____b(n为正整数)．
(1)引导学生掌握性质的证明方法，举反例是证明命题错误的主要方法，证明过程体现数学的严谨性．
(2)特别注意性质4使用的前提，不等号方向取决于c的符号． 【做一做2－1】判断下列命题的真假，并说明理由． (1)如果a＞b，那么a－c＞b－c．
1n1n2
ababababcc【做一做2－2】若a＞b＞c，则下列不等式成立的是( )．
(2)如果a＞b，那么＞． A．
1111＞ B．＜ C．ac＞bc D．ac＜bc a－cb－ca－cb－c答案：
1．(1)①a－b＞0 ②a＜b ③a－b＝0 (2)①a＞b ②＜1 ③a＝b
9?3?233?3?222
【做一做1－1】＞ (x＋3)－3x＝x－3x＋3＝?x－?＋3－＝?x－?＋≥＞0，
2?444??2?
2
即x＋3＞3x．
1
ab【做一做1－2】分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用求商的方法．
16
18?161?9?16?1?16?9?1618?解：18＝??·2＝??·??＝??， 16?16?16?8??2??82?9?9?16
∵∈(0,1)，∴??＜1．
?82?82∵18＞0,16＞0，∴18＜16．
2．(1)b＜a a＞b (2)a＞c (3)b＋c b＋d (4)＞ ＜ bd ＞ ＞ ＞
【做一做2－1】分析：从不等式的性质找依据，与性质相符的为真，与性质不相符的为假．
解：(1)真命题．理由：根据不等式的性质3，由a＞b，可得a＋(－c)＞b＋(－c)，即a－c＞b－c．
(2)假命题．理由：由不等式的性质4可知，如果a＞b，c＜0，则＜，即不等式的两边同乘以一个数时，必须明确这个数的正负．
【做一做2－2】B ∵a－c＞b－c＞0，∴
11＜． a－cb－c16
18
16
18
abcc
1．比较两个实数的大小
剖析：比较两个实数a，b的大小，可以转化为a，b的差与0的大小比较，这种比较大小的方法称为求差比较法．它的主要步骤是：(1)作差；(2)变形(分解因式，配方等)；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中最关键的是第(2)步，变形要有利于判断差的符号才行．
比较两个实数a，b的大小，也可以转化为a与b的商与1的大小比较，这种比较大小的方法称为求商比较法．它的主要步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)下结论．
其中最关键的是第(3)步，在第(4)步中要注意不等号的方向，不等号的方向受分母的符号的影响．
2．不等式和等式的基本性质的区别与联系 剖析：区别：在等式的两边同乘以或除以同一个数(除数不为0)时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数(除数不为0)时会出现两种情况：若这个数为正数，则不等号方向不变，若这个数为负数，则不等号方向改变．
联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，对等式(或不等式)两边形式的变化相同，讨论的都是两边同时加上或减去，同时乘以或除以(除数不为0)同一个数时的情况．
题型一 利用作差法比较大小
【例1】比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
分析：此题为两个代数式比较大小，可先作差，然后展开，合并同类项后，判断差值的正负．
反思：利用作差法比较大小，实际上是把比较两数大小的问题转化为数的运算符号问题．作差时，只需看差的符号，至于差的值究竟是多少，这里无关紧要．如本题，只需看差－7的正负即可．
题型二 利用作商法比较大小
2a2b2cb＋cc＋aa＋b【例2】已知a＞b＞c＞0，比较abc与abc的大小． 分析：用求差比较法不易变形，所以用求商比较法．
反思：用求商比较法比较两个式子的大小时，第(2)步的变形要向着有利于判断商与1的大小关系的方向变形，这是最重要的一步．
题型三 利用不等式的性质证明不等式
【例3】已知a＞b＞c＞d＞0，且＝，求证：a＋d＞b＋c．
acbd 2
分析：利用不等式的性质，将已知等式进行适当变形，注意符号的变化．
反思：在证明不等式时，往往不等式的性质和比例式的性质联合使用，使式子间转换更迅速．如本题，不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息．因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例性质的应用技巧．
题型四 易错辨析
2
【例4】已知函数f(x)＝ax－c，－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围．
??－4≤a－c≤－1，
错解：依题意，得?
??－1≤4a－c≤5，
由(1)，(2)利用不等式的性质进行加减消元，得0≤a≤3,1≤c≤7，(3) ∴由f(3)＝9a－c，可得－7≤f(3)≤26．
错因分析：由(1)(2)得到不等式(3)是利用了不等式的性质中的加法法则，而此性质是单向的，不具有可逆性，从而使得a，c的范围扩大，这样f(3)的范围也随之扩大了．
反思：解本题时，利用f(1)，f(2)设法表示a，c，然后再代入f(3)的表达式中，从而用f(1)和f(2)来表示f(3)，最后运用已知条件确定f(3)的取值范围．
答案：
【例1】解：由题意，作差得 (a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
22
＝(a－2a－15)－(a－2a－8) ＝－7＜0，
所以(a＋3)(a－5)＜(a＋2)(a－4)．
2a2b2cb＋cc＋aa＋b【例2】解：由a＞b＞c＞0，得abc＞0，abc＞0．
a2ab2bc2caaaabbbbcccc所以b＋cc＋aa＋b＝bccaab abcaabbcca－ba－cb－cb－ac－ac－b＝a·a·b·b·c·c ?a?a－b?a?a－c?b?b－c＝??·??·??． ?b??c??c?
a?a?a－b∵a＞b＞0，∴＞1，a－b＞0，即??＞1．
b?b?
?b?b－c?a?a－c同理??＞1，??＞1．
?c??c?2a2b2cabc∴b＋cc＋aa＋b＞1， abc2a2b2cb＋cc＋aa＋b即abc＞abc．
aca－bc－d【例3】证明：∵＝，∴＝．
bdbd∴(a－b)d＝(c－d)b． 又∵a＞b＞c＞d＞0，
b∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且＞1，
da－bb∴＝＞1， c－dd∴a－b＞c－d，即a＋d＞b＋c．
?，?a－c＝f【例4】正解：由?1
a＝[f??3解得?1
c＝??3f
?4a－c＝f?
，，
－f4
－f3
3
85
∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．
33
5?5?20
∵－4≤f(1)≤－1，∴≤?－?f(1)≤．(1)
3?3?38840
又－1≤f(2)≤5，故－≤f(2)≤．(2)
333
把(1)，(2)两边分别相加，得
85
－1≤f(2)－f(1)≤20，∴－1≤f(3)≤20．
33
1对于实数a，b，c，有下列命题：
2222
①若a＞b，则ac＜bc；②若ac＞bc，则a＞b；③若a＜b＜0，则a＞ab＞b；④若cab11
＞a＞b＞0，则＞；⑤若a＞b，＞，则a＞0，b＜0．其中真命题的个数是( )．
c－ac－babA．2 B．3 C．4 D．5 2若a＜0，－1＜b＜0，则有( )．
2222
A．a＞ab＞ab B．ab＞ab＞a C．ab＞a＞ab D．ab＞ab＞a
3设a＞1，－1＜b＜0，则a，b，－a，－b，－ab按由大到小的顺序排列是__________．
2
4若x∈R，则x－x与x－2的大小关系是__________． 答案：
1．C ①∵c的正、负或是否为零未知，∴无法判断ac与bc的大小，故该命题是假命题．
222
②由ac＞bc，知c≠0．又c＞0，∴a＞b．故该命题是真命题．
a ??a＞ab，??ab＞b， ③ a<0?b<0??? 2 b∴a＞ab＞b．故该命题为真命题． ④a＞b＞0?－a＜－b?c－a＜c－b． ∵c＞a，∴c－a＞0，∴0＜c－a＜c－b． 111 两边同乘以，得＞＞0． c－ac－bc－ac－b又a＞b＞0，∴ 2 ac－ac－b＞．故该命题为真命题． 1111b－a⑤a＞b?a－b＞0，＞?－＞0?＞0． ababab∵a－b＞0，∴b－a＜0，∴ab＜0． 又a＞b，∴a＞0，b＜0，故该命题为真命题． 综上可知，命题②③④⑤都是真命题． 2．D ∵a＜0，－1＜b＜0， 2 ∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b＜1， 2 ∴1－b＞0， ∴ab－a＝a(b－1)＞0． ∴ab＞a． 2 又ab－ab＝ab(1－b)＞0， 2 ∴ab＞ab． 22 又a－ab＝a(1－b)＜0， 22 ∴a＜ab．故ab＞ab＞a． 3．a＞－ab＞－b＞b＞－a 依题意，知a＞－b＞b＞－a，－ab＞0，且|b|＜－ab＜|a|，即－b＜－ab＜a， 4 ∴a＞－ab＞－b＞b＞－a． 2 4．x－x＞x－2 运用作差比较法． 222 (x－x)－(x－2)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1． 22 因为(x－1)≥0，所以(x－1)＋1＞0， 即(x2－x)－(x－2)＞0．所以x2－x＞x－2． 、提升部分主题宴会服务的质量，从菜单的设计打印到配套餐具与调料的准备，特别是上菜的语言服务设计将是整个服务的点缀和装饰，开盘菜的欢迎词导入，餐中重头菜肴的介绍宣传，主食供应时的再次祝福，将时刻突出主人对主宾的尊敬热情，也通过此举服务让客人在心里更加加强对朋友盛情的美好回忆，真正达到客人宴请的物质精神双重享受。、建立完善信息收集制度，降低投诉与提高存酒的信赖度根据上半年收集的案例汇总看基本集中在客人对存酒的凝虑，由于当时信息记录单一不全面导致客人对自己的酒水存放不放心，后经部门开会加强细化存酒服务流程，特别注重值台员、吧台的双向记录要求及自带酒水的饮用与存放的书面记录，以此避免了客人心中的顾虑，查询时可以第一时间告知客人排除凝虑。吧台人员在货架的分类上创新编号排放便于快速查找，起到了良好的效果。、班会组织趣味活动，展示餐厅各项技能为营造快乐班会快乐工作的氛围，餐厅经常以活动的形式来组织趣味游戏，虽然时间短暂但是收获多多，拓展PK小游戏配备奖励式处罚，融洽气氛、消除工作中的隔阂，提高相互之间的信赖度有着推波助澜的作用，包括每月的消防突击演练以真正检验全员的真实性效果，提高处变不惊的能力和处理突发事件的反应，当然托盘摆台技能的比拼才是我们真正的专业，从时间与质量考验选手的日常基本功，提高服务效率。、开展各类员工培训，提升员工综合素质本年度共开展了班会全员培训相对多一点达到46场次，业务式技能培训11场，新人入职培训场，领班主管的自主专题培训海底捞进行场，通过培训来达到思想意识的提高，拓展管理思路，开阔行业视野。、全员齐努力，销售新突破根据年初部门设定的果汁饮料销售新目标，全员不懈努力，在客源市场不是很景气的条件下发挥你追我赶宁创销售新高不伤相互感情的比拼精神，使我们的果汁数量屡创新高，到目前已销售11900多扎数，每月销售之星奖励的喜悦众人分享，从二连冠三连冠到现在的年终四连冠都是自身努力和实力的象征，餐厅也因此涌现出了一批销售之星。但是也有在销售中因没有注意语言技巧的把握而导致客人感觉有强买强的嫌疑。 5