发布时间 : 星期日 文章2018高考数学异构异模复习第三章导数及其应用3.2.2函数的极值与最值撬题理201705240269更新完毕开始阅读
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的极值与最值撬题 理
1.设函数f(x)＝3sin围是( )
A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C
ππx0ππ
解析 ∵x0是f(x)的极值点，∴f′(x0)＝0，即·3·cos＝0，得x0＝kπ＋，mmm2
πx222
.若存在f(x)的极值点x0满足x0＋[f(x0)] mk∈Z，即x0＝mk＋m，k∈Z. 1??221?2?π??222 ∴x0＋[f(x0)] 2??2??m?? 3?1?22?1?22 即?k＋?m＋3 m?2??2?3?1?2131?1?2 1－2>?k＋?成立即可．又?k＋?的最小值为，∴1－2>，解得m<－2或m>2.故选C. m?2?4m4?2? 2．已知函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d(b，c，d为常数)，当x∈(0,1)时，f(x)取得极大值， 3 2 1 2 ?1?22 当x∈(1,2)时，f(x)取得极小值，则?b＋?＋(c－3)的取值范围是( ) ?2? A.?C.? ?37? ，5? ?2??37，25? ? ?4? B．(5，5) D．(5,25) 答案 D 1 解析 因为f′(x)＝3x＋2bx＋c，f′(x)的两个根分别在(0,1)和(1,2)内，所以 2 c>0，?? f′(0)>0，f′(1)<0，f′(2)>0，即?3＋2b＋c<0， ??12＋4b＋c>0， 作出可行域如图中阴影部分所示(不 ?1?2?1?2 包括b轴)，?b＋?＋(c－3)表示可行域内一点到点P?－，3?的距离的平方，由图象可知， ?2??2??|3－1＋3|?2?1??1?22 P?－，3?到直线3＋2b＋c＝0的距离最小，即?b＋?＋(c－3)的最小值为??＝5，?2 1 ?? ?2? ? 5 ? ??????22P?－，3?到点A?－，6?的距离最大，此时?b＋?＋(c－3)＝25，因为可行域的临界线为虚 222? ? ? ? ? 线，所以所求范围为(5,25)，故选D. 3．若函数f(x)＝x－3x在(a,6－a)上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A．(－5，1) C．[－2,1) 答案 C 解析 令f′(x)＝3x－3＝0，得x＝±1，且x＝－1为函数f(x)的极大值点，x＝1为函数f(x)的极小值点．函数f(x)在区间(a,6－a)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a<1<6－a且f(a)＝a－3a≥f(1)＝－2，解得－5 4．设函数f(x)＝(x－1)cosx(k∈N)，则( ) A．当k＝2013时，f(x)在x＝1处取得极小值 B．当k＝2013时，f(x)在x＝1处取得极大值 C．当k＝2014时，f(x)在x＝1处取得极小值 D．当k＝2014时，f(x)在x＝1处取得极大值 答案 C 解析 当k＝2013时，f(x)＝(x－1)1) 2013 2013 2 2 3 2 23 2 91 B．[－5，1) D．(－2,1) k* cosx，则f′(x)＝2013(x－1) 2012 cosx－(x－ sinx＝(x－1) 2012 ππ ·[2013cosx－(x－1)sinx]，当 43 2 f′(x)>0，此时函数x＝1不是函数f(x)的极值点，A、B选项均错误．当k＝2014时，f(x) ＝(x－1) 2014 ·cosx，则f′(x)＝2014(x－1) 2013 cosx－(x－1) 2014 sinx＝(x－1) 2013 [2014cosx－ ππ (x－1)sinx]，当 43取得极小值，故选C. 5．已知点M在曲线y＝3ln x－x上，点N在直线x－y＋2＝0上，则|MN|的最小值为________． 答案 22 解析 本题考查导数的几何意义、点到直线的距离． 3 当点M处的曲线的切线与直线x－y＋2＝0平行时|MN|取得最小值．令y′＝－2x＋＝1， 2 x解得x＝1，所以点M的坐标为(1，－1)，所以点M到直线x－y＋2＝0的距离为22，即|MN|的最小值为22. 6．函数f(x)＝x－3x＋6在x＝________时取得极小值． 答案 2 3 2 |1＋2＋1| ＝2 解析 依题意得f′(x)＝3x(x－2)．当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0 7．设函数f(x)＝ln (x＋1)＋a(x－x)，其中a∈R. (1)讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由； (2)若?x>0，f(x)≥0成立，求a的取值范围． 解 (1)由题意知函数f(x)的定义域为(－1，＋∞)， 12ax＋ax－a＋1f′(x)＝＋a(2x－1)＝， x＋1x＋1令g(x)＝2ax＋ax－a＋1，x∈(－1，＋∞)． ①当a＝0时，g(x)＝1， 此时f′(x)>0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； ②当a>0时，Δ＝a－8a(1－a)＝a(9a－8)． 8 a．当0 9 2 2 2 2 f′(x)≥0，函数f(x)在(－1，＋∞)单调递增，无极值点； 8 b．当a>时，Δ>0， 9 设方程2ax＋ax－a＋1＝0的两根为x1，x2(x1 1111 因为x1＋x2＝－，所以x1<－，x2>－.由g(－1)＝1>0，可得－1 2444所以当x∈(－1，x1)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 因此，函数有两个极值点． 3 2 ③当a<0时，Δ>0， 由g(－1)＝1>0，可得x1<－1. 当x∈(－1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减； 所以函数有一个极值点． 综上所述， 当a<0时，函数f(x)有一个极值点； 8 当0≤a≤时，函数f(x)无极值点； 98 当a>时，函数f(x)有两个极值点． 9(2)由(1)知， 8 ①当0≤a≤时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 9因为f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)>0，符合题意； 8 ②当 9又f(0)＝0，所以x∈(0，＋∞)时，f(x)>0，符合题意； ③当a>1时，由g(0)<0，可得x2>0. 所以x∈(0，x2)时，函数f(x)单调递减，因为f(0)＝0，所以x∈(0，x2)时，f(x)<0，不合题意； ④当a<0时，设h(x)＝x－ln (x＋1)． 因为x∈(0，＋∞)时，h′(x)＝1－ 1x＝>0， x＋1x＋1 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因此当x∈(0，＋∞)时，h(x)>h(0)＝0， 即ln (x＋1) 可得f(x) 当x>1－时，ax＋(1－a)x<0， 2 2 a此时f(x)<0，不合题意． 综上所述，a的取值范围是[0,1]． 8.设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x－x，其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性； (2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值． 解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x. －1－4＋3a令f′(x)＝0，得x1＝， 3 2 2 3 x2＝ －1＋4＋3a，x1 3 4