发布时间 : 星期一 文章2016-2017学年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课新人教A版选修2-1更新完毕开始阅读
(3)若直线l：y＝kx＋m与(2)中所述椭圆C相交于A、B两点(A、B不是左、右顶点)，且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：(1)证明：设点P的坐标为(x，y)， 令f(x)＝|PF1|＝(x＋c)＋y.
2
2
2
x2y2b2222
又点P在椭圆C上，故满足2＋2＝1，则y＝b－2x.
abab22c222
代入f(x)得，f(x)＝(x＋c)＋b－2x＝2x＋2cx＋a，
aa2
2
a2a2
则其对称轴方程为x＝－，由题意，知－＜－a恒成立，
cc所以f(x)在区间[－a，a]上单调递增．
所以当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值． (2)解：由已知与(1)得：a＋c＝3，a－c＝1，所以a＝2，c＝1. 所以b＝a－c＝3.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
43
2
2
2
x2y2
y＝kx＋m，??22
(3)解：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立?xy得
＋＝1??43
(3＋4k)x＋8mkx＋4(m－3)＝0，
2
2
2
?即3＋4k－m＞0，
?8mk则?x＋x＝－，3＋4k4（m－3）?x·x＝.?3＋4k2
2
1
2
22
1
2
2
Δ＝64mk－16（3＋4k）（m－3）＞0，
2222
又y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝
3（m－4k）
kx1x2＋mk(x1＋x2)＋m＝. 2
3＋4k2
2
22
因为椭圆的右顶点为A2(2，0)，AA2⊥BA2， 所以(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0. 所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0.
3（m－4k）4（m－3）16mk所以＋＋222＋4＝0.
3＋4k3＋4k3＋4k所以7m＋16km＋4k＝0，
2k22
解得m1＝－2k，m2＝－，且均满足3＋4k－m＞0.
7当m1＝－2k时，l的方程为y＝k(x－2)， 直线过定点(2，0)，与已知矛盾．
2k?2??2?当m2＝－时，l的方程为y＝k?x－?，直线过定点?，0?. 7?7??7?
2
2
2
2
2
?2?所以直线l过定点，定点坐标为?，0?.
?7?