发布时间 : 星期日 文章【优选】备战2020中考数学专题复习分项提升第15讲 三角形及其基本性质(教师版)更新完毕开始阅读
第15讲 三角形及其基本性质
【考点梳理】 1．三角形的分类
不等边三角形??
?(1)按边分类??底边与腰不相等的等腰三角形 ?等腰三角形????等边三角形直角三角形??
?(2)按角分类??锐角三角形 ?斜三角形????钝角三角形2．三角形的基本性质
(1)内角和定理：三角形内角和为180°； (2)内外角关系：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角_大于_任何一个与它不相邻的内角． (3)三边关系：三角形的任意两边之和_大于__第三边； 任意两边之差_小于第三边； 3．三角形中的重要线段
(1)角平分线：①如图，线段AD平分∠BAC，则AD是△ABC的一条角平分线． ②内心：三角形三条角平分线的交点．它到各边的距离相等．
(2)中线：①如图，E是线段BC的中点，则线段AE是△ABC的一条中线， ②重心：三角形三条中线的交点．
(3)高：①如图，AF⊥BC，则线段AF是△ABC的高线． ②垂心：三条高线的交点．
(4)中位线：①连接三角形两边中点的一段，叫做三角形的中位线． ②中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
1
(5)垂直平分线：①如图，点D是BC的中点，DE⊥BC，则DE是△ABC的一条垂直平分线．
②外心：三条垂直平分线的交点，它到各顶点的距离相等；锐角三角形的外心在形内，钝角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜边中点．
4．命题
(1)命题：判断一件事情的语句叫做命题．命题分为题设和结论两部分．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
(2)真命题和假命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题. 【高频考点】
考点1： 三角形三边关系
【例题1】（2019浙江丽水3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A．1 【答案】C
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3， 即2＜a＜8， 即符合的只有3， 故选：C．
归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否组成三角形的判定标准，三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 考点2： 三角形重要线段的计算与应用
B．2
C．3
D．8
2
【例题2】如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线．
1
(1)有四种说法：①BA＝2BF；②∠ACE＝∠ACB；③AE＝BE；④CD⊥AB，则错误的说法是③；
2(2)若∠A＝72°，∠ABC＝28°，求∠DCE； (3)BG是△ABC的高，∠A＝72°，求∠DHB；
(4)若M是BC的中点，若∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，求FM的长．
【分析】 (1)由三角形高线，角平分线，中线的定义进行判断即可；(2)先由∠A，∠ABC可求∠ACB，由CE是角平分线，可求得∠ACE，从而可利用∠ACE和∠ACD作差可解决问题；(3)由四边形内角和是360°，可求得∠DHG，由互补可求得∠DHB；(4)由勾股定理求AC，由中位线定理求AC.
【解答】解：(2)∵∠A＝72°，∠ABC＝28°， ∴∠ACB＝80°.
∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE＝∠BCE＝40°. ∵∠A＝72°，CD是△ABC的高， ∴∠ACD＝18°.
∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝22°.
(3)∵BG是△ABC的高，CD是△ABC的高， ∴∠ADC＝∠AGH＝90°.
∵∠A＋∠ADC＋∠DHG＋∠AGH＝360°， ∴∠DHG＝108°.
∴∠DHB＝180°－∠DHG＝72°. (4)∵∠A＝90°，AB＝16，BC＝20， ∴AC＝12.
∵FM是△ABC的中位线， 1
∴FM＝AC＝6.
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归纳：中线和中位线是易混淆的两个概念，中线是连接顶点与对边中点之间的线段，中位线是连接两边中点之间的线段，中线把三角形面积等分，中位线把三角形面积分为1∶3. 考点3： 三角形内角和与外角性质的综合应用
【例题3】 如图：已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于F．
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（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．
（2）如图2：若（3）若
写出∠M和∠E之间的数量关系并证明你的结论．
设∠E＝m°,直接用含有n、m°的代数式写出∠M＝(不写过程)
【分析】（1）首先作EG∥AB，FH∥AB，利用平行线的性质可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分线的定义得到∠ABF+∠CDF=140°，从而得到∠BFD的度数；
（2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代换，即可得；
（3）由（2）的方法可得到2n∠M+∠E=360°，将∠E=m°代入可得∠M=【解析】（1）作EG∥AB，FH∥AB， ∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，
∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°， ∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°，
∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，∴∠ABE+∠CDE=280°，
∵∠ABF和∠CDF的角平分线相交于E，∴∠ABF+∠CDF=140°， ∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°； （2）∵∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF， ∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，
∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F，
∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°， ∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E=360°； （3）由（2）的结论可得，
2n∠ABN+2n∠CDM+∠E=360°，∠M=∠ABM+∠CDM，
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解得：∠M=，
故答案为：
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