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xid?xi,xjd（4-7）
这里d表示该函数为离散函数。 根据定义，L的逆运算L?满足：
L?:Hp?L2???/2,?/2? （4-8） Ls,xd ?s,L?x （4-9）
c我们有：
Ls,xd??Ls?x??Hs*(?)aH(?)d?x?s,aHx （4-10）
??/2c?/2则
Lx?a(?)x （4-11）
?H首先，我们信号子空间和噪声子空间的概念推广到分布式目标。对于固定的参数矢量yi，角密度函数si(?;yi)是关于DOA参数?的一个随机过程。所谓信源子空间，我们是指随机过程的所有实现张成的线性空间。
si(?;yi)i?1,...,q （4-12）
为了简单起见，我们假定信源子空间S是L2???/2,?/2?上的闭合子空间。继而，我们推广该理论。信源子空间S在线性算子L下的值域定义为信号子空间，表示如下:
R??Ls:s?S? （4-13）
R的正交补空间定义为噪声子空间，用R?上表示，S的正交补空间用S?上表示，则有关系
L:S?R
?? L:S?R
L?:R?S
??? L:R?S （4-14）
我们所定义的上述信号与噪声子空间的概念与点目标传统概念也是相符合的。点目标DOA为yi，的角密度函数表示如下：
si(?;yi)??i?(??yi) （4-15）
这里?i为第i个信号的随机复包络，那么，点目标情形时的信源子空间为
S?Span?(??y1),...,?(??yq) （4-16）
?? 12
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??(??y1),...,?(??yq)?[13]进行线性运算L得到信号子空间恰好符合点目标时的信号子对Span空间的一般定义。现在我们使用新定义的信号和噪声子空间解释点目标经典MUSIC算法。假定我们知道R?，比如ei?R?,i?1,...,M?q，那么
L?ei?aH(?)ei?S? i?1,...,M?q （4-17）
上述矢量属于S的正交补空间，正交于S中的任一向量
??即
?/2?/2aH(?)eis*(?)d??0 任意s(?)?S，而且i?1,...,M?q （4-18）
???/2?/2 aH(?)ei?(??yj)d??aH(yi)ei?0 对于i?1,...,M?q,j?1,...,q （4-19）
定义En?[e1,...,eM?q]，我们有
Ha(yi)En?0, 对于j?1,...,q （4-20）
MUSIC算法估计多个点源的DOA是通过最大化下面的“频率探测器”，
PMUSIC(y)?
11?aH(y)EnEnHa(y)aH(y)En2（4-21）
这里y??,?为待估参数集合。
沿着类似的思路，我们可以推导出适用于分布式信号源的MUSIC类算法。现在假定R?维数是M?q，基为e1,...,eM?q并令En?[e1,...,eM?q]，且有
L?ei?aH(?)ei?S?,i?1,...,M?q （4-22）
因此，对于所有s(?)?S，我们有
???/2?/2（4-23） aH(?)Ensi*(?;yi)d??0
由于s空间为si(?;yi)张成的，故上式又可写为
???/2?/2（4-24） aH(?)Ensi*(?;yi)d??0
对于所有si(?;yi)(i?1,...,q)的实现都成立 既然si(?;yi)是随机函数，我们还有
2??/2H?* E?? a(?)Ensi(?;yi)d???0 （4-25）
??/2??
?????/2?/2?/2?/2HaH(?)Enp*(?,?;yi)Ena(?')d?d?'
（4-26）
那么，参数矢量可由下式估计得到
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y?argmaxy^1 （4-27）
tr(EnHH(y)En)*H''其中称H(y)????/2a(?)p(?,?;yi)a(?)d?d?为矩阵阵列流形。
?/2上述算法为分布式信号参数估计方法(DSPE)。
4.3 相干分布源的方位估计方法
分布式目标可以看作一些满足一定分布规律的散射点的集合,这些散射点之间有所联系,所以和空间中的多目标是有所区别的。对于这样的目标源,接受阵列的观测矢量为: x(t)?（4-28） a(?)si(???i,t)d??n(t) ???i?1?q?在上面的式子中,a(?)是阵列流型向量,si(???i,t)为第i个分布式目标信号源在t时刻的角信号密度函数,它包含了分布式目标的所有信息,分布式目标波达方向就是指中心波达方向
?i。对于源内角度相关源(来自同一源的不同角度的来波信号成分相关)来说，角信号密度函
数可以表示为：si(???i't)?si(t)gi(???i), 其中si(t)为目标反射信号,gi(???i)为第i个分布式目标的角信号分布函数,则t时刻阵列的观测数据x(t)可以表示为：
x(t)?（4-29） ?s(t)b(?)?n(t)
iiii?1q其中bi(?i)是第i个分布式目标的方向矢量,对比点目标的情况,也可以把它理解为广义流型向量,可以表示为:
bi(?i)????a(?)g(???)d??ii i?1,2,...,q （4-30）
q为分布式目标个数,bi(?i)由分布式目标信号源的角信号分布函数的数学形式及其未知的分布参数决定,是M阶方向矢量,M为阵元数。
假设远场存在q个分布式目标,信号矢量s(t)?s1(t),s2(t),...,sq(t)和噪声矢量n(t)是相互独立的零均值随机矢量，其二阶原点矩分别为：
E[s(t)s(k)]?P（4-31） s?(t,k),E[n(t)n(k)]??nIM?(t,k)
HH2??T其中?(t,k)为kronnecker ?函数,Ps为信号协方差矩阵,IM为M阶单位矩阵,?n2为噪声方差。
由x(t)??si(t)bi(?i)?n(t)可以得出,观测数据矢量x(t)的协方差矩阵Rx：
i?1q1NRx?E[x(t)x(k)]??x(t)x(t)H? Ni?1H 14
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Rx(1,2)?Rx(1,1)?R(2,1)Rx(2,2)?x?......?R(M,1)Rx(M,2) ?x...Rx(1,M)?...Rx(2,M)??(4-32)
?......?...Rx(M,M)?
其中N为观测数据长度,在目标源之间不相干的情况下,均匀线列阵信号的协方差矩阵是Toeplitz[10]矩阵,矩阵的秩等于目标源个数,通过对Rx特征分解后的子空间的分析,利用方向矢量与噪声子空间的正交特性来构造算法的空间谱,由谱峰的位置求出目标方位。但是当多个目标同时入射进入阵列并且目标信号相干时,矩阵将不再是Toeplitz矩阵,并且由于目标源之间相干,导致Rx的秩亏损,从而可能导致目标漏报。为了解决这一问题, 提出对该算法的改进方法,构造一个Toeplitz矩阵
?r(1),r*(2),?r(2),r*(1),?RT??......???r(M),r(M?1),
r*(M)??...r*(M?1)?（4-33）
......??...r*(1)?? ...其中：r(i)?M1Rx(m,m?i?1),i?1,...,M， ?M?i?1m?1即元素r(i)是协方差矩阵Rx下三角部分与主对角线平行的第i条线上元素的平均。其实Toeplitz用来解相关时有三种途径, 其一是相位Toeplitz方法,其二是幅度Toeplitz方法,在这里用到的是幅度和相位同时Toeplitz化。此矩阵可以理解为将采样数据的协方差矩阵进行时间平均和空间平均后的数据矩阵。这是因为对于矩阵Rx可以理解为其每一元素是不同的接收阵元采样数据的时间平均,而对其采取Toeplitz化则意味着在此基础上将不同的时间平均值再进行一次阵元之间的平均,即空间平均,这样做的目的是恢复矩阵的秩。此时的协方差矩阵RT 称之为修正协方差矩阵，Toeplitz化解相干的原理不是通过降低阵元自由度而获得的,而是通过改变协方差矩阵的数据结构获得的,所以这与平滑类解相干算法不同,阵列的孔径得到了有效的利用。
HH修正后的协方差矩阵的奇异值分解为: RT?Us?sUs?Us?sUs,对应信号子空间及噪声
子空间有不同的奇异值理想情况下有?1??2?...??q??q?1?...??n为了避免由于目标之间的相干性带来的矩阵秩的亏损从而导致对于目标源个数估计的不准确,这里使用对于目标源欠估计下的处理方法,结合针对相干源的Toeplitz方法,可以更有效的处理相干源的方位估计问题。
一般情况下,由矩阵方向矢量及噪声子空间的正交性导出的MUSIC类方法用到的噪声子空间是由特征向量张成的子空间,并未考虑特征值在其中的影响,这样做的前提必须是对于目
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