发布时间 : 星期三 文章下实数提高题与常考题型压轴题更新完毕开始阅读
的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值． 【分析】（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）==1；
（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值． 【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数）， ∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x， ∵t为“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18， ∴y=x+2，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79， ∴F（13）==
，F（24）==，F（35）=，F（46）=
， ＞
＞
，
，F（57）=
，F（68）
，F（79）=
＞
∵＞＞
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．
【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其
转化为实数的运算是解题的关键．
31．（2016?龙岩模拟）（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、
减法及乘法运算，比如，数字2和5在该新运算下结果为﹣5．计算如下： 2⊕5=2×（2﹣5）+1 =2×（﹣3）+1 =﹣6+1 =﹣5
求（﹣2）⊕3的值；
（2）请你定义一种新运算，使得数字﹣4和6在你定义的新运算下结果为20．写出你定义的新运算．
【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）规定一种运算，计算结果为20即可．
【解答】解：（1）（﹣2）⊕3=﹣2×（﹣5）+1=10+1=11；
（2）规定：a@b=2（b﹣a），例如（﹣4）@6=2×[6﹣（﹣4）]=20．（开放题，答案不唯一）
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
32．（2016秋?上蔡县校级期末）已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+3n的平方根．
【分析】先根据2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5求出m和n的值，再求出m+3n的值，由平方根的定义进行解答即可． 【解答】解：∵2m+2的平方根是±4， ∴2m+2=16，解得：m=7； ∵3m+n+1的平方根是±5， ∴3m+n+1=25，即21+n+1=25， 解得：n=3， ∴m+3n=7+3×3=16，
∴m+3n的平方根为：±4．
【点评】本题考查的是平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．注意：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
33．（2016春?宜春期末）已知一个正数x的两个平方根分别是2a﹣3和5﹣a，求a和x的值．
【分析】正数x有两个平方根，分别是2a﹣3与5﹣a，所以2a+2与5﹣a互为相反数，可求出a；根据x=（2a﹣3）2，代入可求出x的值． 【解答】解：依题意可得 2a﹣3+5﹣a=0 解得：a=﹣2， ∴x=（2a﹣3）2=49， ∴a=﹣2，x=49．
【点评】本题主要考查了平方根的定义和性质，以及根据平方根求被开方数，一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解答此题的关键．
34．（2016秋?龙海市期末）已知m+n与m﹣n分别是9的两个平方根，m+n﹣p的立方根是1，求n+p的值．
【分析】根据平方根与立方根的性质即可求出m、n、p的值 【解答】解：由题意可知：m+n+m﹣n=0，（m+n）2=9，m+n﹣p=1， ∴m=0， ∴n2=9， ∴n=±3，
∴0+3﹣p=1或0﹣3﹣p=1， ∴p=2或p=﹣4，
当n=3，p=2时，n+p=3+2=5
当n=﹣3，p=﹣4时，n+p=﹣3﹣4=﹣7，
【点评】本题考查平方根与立方根的性质，解题的关键是根据平方根与立方根的性质列出方程，然后求出m、n、p的值即可．
35．（2016秋?无棣县期末）先填写下表，观察后回答下列问题：
a
… …
﹣ ﹣
0 0
1 1
1000
… …
（1）被开方数a的小数点位置移动和它的立方方根的小数点位置移动有无规律？若有规律，请写出它的移动规律． （2）已知：
=﹣50，
=，你能求出a的值吗？
【分析】（1）首先依据立方根的定义进行计算，然后依据计算结果找出其中的规律即可；
（2）依据规律进行计算即可． 【解答】解：填表结果为，10；
（1）有规律，当被开方数的小数点每向左（或向右）移动3位，立方根的小数点向左（或向右）移动1位； （2）能求出a的值； ∵∴
=， =﹣，
由﹣和﹣50，小数点向右移动了2位，则a的值的小数点向右移动6为， ∴a=125 000
【点评】此题考查了立方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
36．（2016春?平定县期末）阅读理解下面内容，并解决问题：
据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥秘． （1）由103=1000，1003=1000000，你能确定∵1000＜59319＜1000000， ∴10＜∴
＜100． 是两位数；
是几位数吗？