发布时间 : 星期二 文章东城区2019届高三一模数学（理）试题更新完毕开始阅读
北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（一） 2019.4
数学 （理科）
本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A?{x2x2?x?0},B?{x2x?1?0},则A（A）?xx???
B?
??1?2?（B）?xx???1?? 2?（C）{xx?0}
（D）R
（2）在复平面内，若复数(2?i)z对应的点在第二象限，则z可以为 （A）2 （C）i
（3）在平面直角坐标系xOy中，角?以Ox为始边，终边经过点P(?1,m)(m?0)，则下列各式的值一定
为负的是
(A)sin??cos? (B) sin??cos? (C) sin?cos? (D)
（4）正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为
（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）平行四边形 （D）梯形
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（B）?1 （D）2+i
sin?tan?
?x?y≥0，?（5）若x,y满足?y?1≤0,则x-y的最大值为
?y≥2x?6,? （A）0 （B）1 （C）2 （D）4
（6）已知直线l过抛物线y2?8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C.若点F是AC的中点，则线段BC的长为
(A)
8 3 (B) 3 (C)
16 (D)6 3（7）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，
则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为
V1,V2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分
别为S1,S2,则“V1,V2相等”是“S1,S2总相等”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（8）已知数列{an}满足：a1?a，an?1?an1?(n?N?) ，则下列关于{an}的判断正确的是 2an（A）?a?0,?n≥2,使得an?2 （B）?a?0,?n≥2,使得an?an?1
?（C）?a?0,?m?N,总有am?an(m?n) ?（D）?a?0,?m?N,总有am?n?an
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第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
6（ 9）在(2?x)的展开式中，x2的系数是 .（用数字作答）
（ 10 ）在△ABC中，若bcosC?csinB?0，则?C? . （ 11）若曲线C:??x?a?cos?,?x?1?t,（?为参数）关于直线l:?(t为参数)对称，则a? ；
?y?2?sin??y??2?2t此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为 .
（ 12）已知向量a?(1,3)，向量b为单位向量，且a?b?1，则2b?a与2b夹角为 .
3（13）已知函数f(x)?4x?x，若?x1,x2?[a,b],x1?x2,都有2f(x1?x2)?f(2x1)?f(2x2)成立，则
满足条件的一个区间是________.
?0，x?A，?0，x?B，n??，B是R中两个子集，对于x?R，定义：m??（14）设A
1，x?B.1，x?A，??①若A?B.则对任意x?R，m?(1?n)?_____；
，B的关系为__________. ②若对任意x?R，m?n?1，则A
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
已知函数f(x)?4acosxsin(x?)，且f()?1. (Ⅰ) 求a的值及f(x)的最小正周期；
(Ⅱ) 若f(x)在区间[0,m]上单调递增，求m的最大值.
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?6?3
（16）（本小题13分）
改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．
（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多500亿元以上的概率；
（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年
增加值方差最大？（结论不要求证明）
（17）（本小题14分）
如图，在棱长均为2的三棱柱ABC?A1B1C1中，点C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，E,F分别为BC,A1C1的中点． （Ⅰ）求证：四边形A1ABB1为正方形；
（Ⅱ）求直线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值；
FB1OA1AC1CEB（Ⅲ）在线段AB1上存在一点D，使得直线EF与平面A1CD没有高三数学（理）（东城） 第 4 页（共 5 页）
公共点，求
AD的值. DB1（18）（本小题13分）
设函数f(x)?ax?(a?2)x?lnx的极小值点为x0. （I）若x0?1，求a的值f(x)的单调区间；
（II）若0?x0?1，在曲线y?f(x)上是否存在点P，使得点P位于x轴的下方？若存在，求出一个P点
（19）（本小题13分）
坐标，若不存在，说明理由.
2x2y2??1(m?0)与x轴交于两点A1,A2，与y轴的一个交点为B，△BA1A2的面 已知椭圆C:4mm积为2.
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆C交于不同的两点P直线A1P1,P2，1与直线A2P2交于点P.
以原点O为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于M,N两点（点M在点N的左侧），求PM?PN的值.
（20）（本小题14分）
已知L?N?，数列A:a1，a2，L，an中的项均为不大于L的正整数. ck表示a1,a2,L,an中k的个数(k?1，2，L，L). 定义变换T，T将数列A变成数列T(A):t(a1),t(a2),t(k)?L?c1?c2?L?ck.
n,t(an)其中
（Ⅰ）若L?4，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出ci(1?i?4)的值； （Ⅱ）已知对任意的k(k?1,2,,n)，存在A中的项am，使得am?k.
求证： （ tai）?ai(i?1,2,L,n)的充分必要条件为ci?cj(i，j?1，2，L，L)；（Ⅲ）若l?n，对于数列A:a1,a2,L,an，令T(T(A)):b1,b2,L,bn，求证：bi?t(ai)(i?1,2,高三数学（理）（东城） 第 5 页（共 5 页）
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