发布时间 : 星期一 文章2013考研数三真题及解析更新完毕开始阅读
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
（1）当x?0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A）x?o(x2)?o(x3) （B）o(x)?o(x2)?o(x3) （C）o(x2)?o(x2)?o(x2) （D）o(x)?o(x2)?o(x2)
|x|x?1（2）函数f(x)?的可去间断点的个数为（ ）
x(x?1)ln|x|（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
22（3）设Dk是圆域D?{(x,y)|x?y?1}位于第k象限的部分，记Ik???(y?x)dxdy?k?1,2,3,4?，
Dk则（ ） （A）I1?0 （B）I2?0 （C）I3?0 （D）I4?0
（4）设{an}为正项数列，下列选项正确的是（ ） （A）若an?an?1,则??(?1)n?1?n?1an收敛
（B）若?(?1)n?1n?1an收敛，则an?an?1
1
（C）若?an?1?nP收敛，则存在常数P?1,使limnan存在
n??（D）若存在常数P?1，使limnan存在，则
n??P?an?1?n收敛
（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB?C,则B可逆，则 （A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 （B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 （C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价
?1a1??200?????（6）矩阵?aba?与?0b0?相似的充分必要条件为
?1a1??000?????（A）a?0,b?2 （B）a?0,b为任意常数 （C）a?2,b?0
（D）a?2,b为任意常数
（7）设X1，X2，X3是随机变量，且X1~N(0,1)，X2~N(0,22），X3~N(5,32),
Pj?P{?2?Xj?2}(j?1,2,3),则（ ）
（A）P1?P2?P3 （B）P2?P1?P3 （C）P3?P1?P2 （D）P1?P3?P2
（8）设随机变量X和Y相互独立，则X和Y的概率分布分别为，
则P{X?Y?2}? ( )
2
1 121（B）
81（C）
61（D）
2（A）
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）设曲线y?f(x)和y?x2?x在点(0,1)处有公共的切线，则limnf?n???n???________。 n?2??（10）设函数z?z(x,y)由方程(z?y)x?xy确定，则（11）求
?z?x(1,2)?________。
???1lnxdx________。
(1?x)21y?0通解为y?________。 4（12）微分方程y???y??（13）设A?(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij的代数余子式，若
aij?Aij?0(i,j?1,2,3),则A?____
（14）设随机变量X服从标准正态分布X~N(0,1),则E(Xe2X)= ________。
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或．．．演算步骤.
（15）（本题满分10分）
当x?0时，1?cosx?cos2x?cos3x与ax为等价无穷小，求n与a的值。 （16）（本题满分10分）
设D是由曲线y?x，直线x?a(a?0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若Vy?10Vx，求a的值。 （17）（本题满分10分）
设平面内区域D由直线x?3y,y?3x及x?y?8围成.计算（18）（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P?60?元，Q是销量，单位：件），已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润。
3
2x??dxdy。 D13nQ，（P是单价，单位：1000
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义。 （3）使得利润最大的定价P。 （19）（本题满分10分）
设函数f(x)在[0,??]上可导，f(0)?0且limf(x)?2，证明
x???（1）存在a?0，使得f(a)?1
（2）对（1）中的a，存在??(0,a),使得f'(?)?（20）（本题满分11分） 设A??1. a?1a??01?,B????，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC?CA?B，并求所有矩阵C。 101b????（21）（本题满分11分）
?a1??b1?22????设二次型f?x1,x2,x3??2?a1x1?a2x2?a3x3???b1x1?b2x2?b3x3?，记???a2?,???b2?。
?a??b??3??3?（I）证明二次型f对应的矩阵为2?T???T?；
22（II）若?,?正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y1。 ?y2（22）（本题满分11分）
?3x2,0?x?1,设?X,Y?是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX?x???，在给定X?x?0?x?1?的
其他.?0,Y的条件概率密度fYX条件下，
?3y2,0?y?x,?yx????x3
?0,其他.?（1） 求?X,Y?的概率密度f?x,y?； （2） Y的边缘概率密度fY?y?. （23）（本题满分11分）
??2???3ex,x?0,设总体X的概率密度为f?x???x其中?为未知参数且大于零，X1,X2，?XN为来自总体
?0,其它.?X的简单随机样本.
（1）求?的矩估计量；
（2）求?的最大似然估计量.
4