发布时间 : 星期六 文章高中数学 必修二 ：第2章 2.3.1 (人教A版必修2) Word版含答案更新完毕开始阅读
答案：④
4．(选做题)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．
(1)求证：BC′⊥平面AC′D；
(2)求直线AB与平面BC′D所成角的正弦值．
解：(1)证明：因为点C′在平面ABD上的射影O在AB上， 所以C′O⊥平面ABD，所以C′O⊥DA. 又因为DA⊥AB，AB∩C′O＝O， 所以DA⊥平面ABC′，所以DA⊥BC′. 又因为BC⊥CD，所以BC′⊥C′D.
因为DA∩C′D＝D，所以BC′⊥平面AC′D.
(2)如图所示，过A作AE⊥C′D，垂足为E. 因为BC′⊥平面AC′D， 所以BC′⊥AE.
又因为BC′∩C′D＝C′， 所以AE⊥平面BC′D.
连接BE，则BE是AB在平面BC′D上的射影，故∠ABE就是直线AB与平面BC′D所成的角．
由(1)知DA⊥平面ABC′，所以DA⊥AC′. 在Rt△AC′B中，
AC′＝AB2－BC′2＝32.
在Rt△BC′D中，C′D＝CD＝33. 在Rt△C′AD中，由等面积法，得
AC′·AD32×3AE＝＝＝6.
C′D33
所以在Rt△AEB中，
AE62
sin∠ABE＝AB＝＝3，
33
2
即直线AB与平面BC′D所成角的正弦值为3.