高考数学二轮复习专题综合测试卷(8)数学思想与数学方法(含解析)

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(2)若AB=BC=2,∠CBD=45°,求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值. [审题要点] (1)由D在圆周上知BD⊥CD.又AB⊥平面BCD,可知CD⊥平面ABD,欲证

BF⊥平面ACD,由于BF⊥AD,只要找到平面ACD内与BF垂直的另一条直线即可,CD即是要

找的直线.

(2)①要找出二面角的平面角,需找到二面角的棱,这样作图会很麻烦,注意到AB⊥平面BCD,从而平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,故E、F在底面上的射影分别在BC、

BD上,故可用△BEF与其射影三角形的面积来求二面角的余弦值;②由AB⊥平面BCD知AB为

平面BCD的一个法向量,由于AE⊥AC,BF⊥平面ACD,故AC是平面BEF的法向量,则二面角→→

的计算可转化为研究AB与AC的夹角;③从众多垂直关系中,找到建系方案,可用坐标法讨论.

[解析] (1)证明:∵BC为圆O的直径,∴CD⊥BD, ∵AB⊥圆O所在的平面,

∴AB⊥CD,且AB∩BD=B,∴CD⊥平面ABD. 又∵BF?平面ABD,∴CD⊥BF, 又∵BF⊥AD,且AD∩CD=D, ∴BF⊥平面ACD. (2)方法一:(向量法)

由(1)知:BF⊥平面ACD,AC?平面ACD, ∴BF⊥AC,又BE⊥AC,且BE∩BF=B, ∴AC⊥平面BEF,

即AC是平面BEF的一个法向量.

又由已知AB垂直于圆O所在的平面,得AB是平面BCD的一个法向量, →→

∴平面BEF与平面BCD所成的锐角二面角与向量AC与AB所成的角相等, 故所求锐角二面角的余弦值为cos∠CAB=2. 2

方法二:(射影面积法)

过点F作FG∥AB,交BD于点G,连接OG 、OE,可知EO、FG都垂直于平面BCD, ∴△BGO是△BFE在平面BCD上的射影,

∵AB=BC=2,∠CBD=45°,∴BD=DC=2,

BD261

又∵BF⊥AD,∴DF===AD,

AD33

222∴BG=BD=,

33

11∴S△BOG=BO2BG2sin45°=.

23在Rt△ABD中,由于BF⊥AD得

AB2BD22223

BF===,

AD36

∵BF⊥平面ACD,EF?平面ACD,∴BF⊥EF, 则在Rt△BEF中,BE=2, ∴EF=BE-BF=

2

2

6

, 3

12

∴S△BEF=BF2EF=. 23

设平面BEF与平面BCD所成锐二面角为θ,则

cosθ=

S△BDG2==. S△BEF22

3

1

3

方法三:向量坐标法.

如图,以O为原点建立空间直角坐标系.

则B(0,-1,0),E(0,0,1),D(1,0,0),A(0,-1,2), ∵BF⊥AD,

BD261

∴DF===AD,

AD33

→1→得DF=DA,

3212

∴点F(,-,),

333

BF=(,,),BE=(0,1,1).

设平面BEF的法向量为n1=(x,y,z),则 →??BF2n1=0,?→??BE2n1=0,

222

333

02x+12y+12z=0,??即?222

2x+2y+2z=0.?33?3

??y=-z,

解得?

?x=0.?

不妨取平面BEF的法向量n1=(0,-1,1),

而又由已知AB垂直于圆O所在的平面,

→→

得BA是平面BDC的一个法向量,即n2=BA=(0,0,2), 设平面BEF与平面BCD所在锐角二面角为θ,

n12n22

则cosθ=|cos〈n1,n2〉|=||=.

|n1|2|n2|2

20.(本题满分12分)(文)(20152河南六市联考)已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5=45,a2+a6=14.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足:+2+?+n=an+1(n∈N),求数列{bn}的前n项和Sn.

222[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,则依题设d>0. 由a2+a6=14,可得a4=7.

由a3a5=45,得(7-d)(7+d)=45,可得d=2. 所以a1=7-3d=1. 可得an=2n-1.

(2)设cn=n,则c1+c2+?+cn=an+1.

2即c1+c2+?+cn=2n,

可得c1=2,且c1+c2+?+cn+cn+1=2(n+1). 所以cn+1=2,可知cn=2(n∈N). 所以bn=2

n+1

*

b1b2bn*

bn,

所以数列{bn}是首项为4,公比为2的等比数列. 4?1-2?n+2

所以前n项和Sn==2-4.

1-2

(理)(20152江西上饶市三模)已知数列{an}的首项a1=1,an+1=2an+1. (1)求证:{an+1}是等比数列; (2)求数列{nan}的前n项和Sn.

n

[解析] (1)∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1), 则

an+1+1

=2为常数,∴{an+1}是等比数列. an+1

nn(2)∵a1=1,可得an+1=2,∴an=2-1, 则nan=n22-n,

设Tn=132+232+?+n22,则 2Tn=132+232+?+n22

2

32

nnn+1

Tn=-2-22-23-?-2n+n22n+1

2?1-2?n+1

=-+n22

1-2=(n-1)2

n+1

n+2

n+1

∴Sn=(n-1)2-

n2+n2

+2.

12

21.(本题满分12分)(文)设a>0且a≠1,函数f(x)=x-(a+1)x+alnx.

2(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在(3,f(3))处切线的斜率; (2)求函数f(x)的极值点.

[分析] 第(1)问求f(x)在(3,f(3))处的斜率就是求f ′(3);第(2)问求f(x)的极值点,由于f(x)中含参数a,a的取值变化会引起f(x)单调区间的改变,从而极值改变,故需分类讨论.

[解析] (1)由已知x>0, 2当a=2时,f ′(x)=x-3+,

x2

曲线y=f(x)在(3,f(3))处切线的斜率为f ′(3)=. 3

ax2-?a+1?x+a(2)f ′(x)=x-(a+1)+= xx=

?x-1??x-a?. x由f ′(x)=0得x=1或x=a, ①若0

当x∈(0,a)时,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x∈(a,1)时,f ′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增. 此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点. ②若a>1,则

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