发布时间 : 星期五 文章高考数学二轮专题复习与策略第2部分专题讲座2题型分类突破教师用书理更新完毕开始阅读
专题讲座2 题型分类突破
一、填空题求解的6种妙招
填空题是高考题中的客观性题型，不要求书写推理或演算过程，只要求直接填写结果，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大等特点．常用的求解方法有：直接运算推理、特值代入法、归纳类比猜想、数形结合法、构造法等．在解答问题时，由于不要求写出解答过程，只要求填写结论，所以每一个步骤都要正确，还要将结论表达得准
确、完整．合情推理、优化思路、少算多思都是快速、准确地解答填空题的基本要求．
类型一 直接运算推理法
根据题意，要求填写数值、数集或数量关系，如：方程的解，不等式的解集，函数的定义域、值域、最值，几何体中的角度、体积等，多采用直接求解法，即直接从题设出发，抓住命题的特征，利用定义、性质、定理等，经过变形、推理、计算、判断得结果，
这也是解答填空题的基本方法．
已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，
a2，a5成等比数列，则S8＝________.
64 [∵a1，a2，a5成等比数列，∴a2＝a1a5，
∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)，∴d2－2d＝0.
∵d≠0，∴d＝2.
∴S8＝8×1＋
直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
[变式训练1] (2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x＋y－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
422
[圆C的标准方程为(x－4)＋y＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y－2＝03
|4k－2|442
的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为.] 33k2＋1
类型二 特例求解法
特例求解法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从特殊到一般，优点是简便易行．当填空题提供的信息暗示答案唯一或其值为定值时，就可以取一个特殊数值、特殊
2
2
8×7
×2＝64.]2
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位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特
殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例求解法尤其有效．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a，b，c成
等差数列，则
cos A＋cos C
＝________.
1＋cos Acos C
45
[当a＝b＝c时，a，b，c成等差数列，令A＝B＝C＝60°.
11＋22cos A＋cos C4
则＝＝.]
1＋cos Acos C115
1＋×22
1．凡在一般情况下探求结论的填空题，都可以用特例法求解．
2．求值或比较大小关系等问题均可利用特殊值法，但要注意这种方法仅限于求值只有一种结果的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，则不能利用这种方法．
[变式训练2] 设坐标原点为O，抛物线y＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则→→
OA·OB＝________.
3
－ [取直线AB⊥x轴这种特殊情形． 4
2
?1?2
由y＝2x，知焦点F?，0?，
?2?
1?11???，1取直线x＝交点A?，B?，－1?. ?2?2??2?→→
3?1??1?1
∴OA·OB＝?，1?·?，－1?＝－1＝－.]
4?2??2?4
类型三 数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜率或截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但只要认真将图
形作完，解答过程就会简便很多．
已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x，那么函数
2
y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有________个．
10 [如图，作出图象可知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象共有10个交点．
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]
利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．
[变式训练3] 若函数f(x)＝a－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
(1，＋∞) [函数f(x)的零点的个数就是函数y＝a与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象如图所示，可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.]
xx
类型四 构造法
在解题时，有时需要根据题目的具体情况，构造出一些新的数学形式、新的模式解题，并借助它认识和解决问题，通常称之为构造模式解法，简称构造法．构造的方向可以
是函数、方程、不等式、数列、几何图形等．
在三棱锥P－ABC中，PA＝BC＝234，PB＝AC＝10，PC＝AB＝
241，则三棱锥P－ABC的体积为________．
160 [如图所示，把三棱锥P－ABC补成一个长方体AEBG－FPDC，易知三棱锥P－ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知有：
x＝6，??
解得?y＝8，
??z＝10，
，100＝y2＋x2?
?
，136＝z2＋x2?，164＝z2＋y2??
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所以VP－ABC＝VAEBG－FPDC－VP－AEB－VC－ABG－VB－PDC－VA－FPC ＝VAEBG－FPDC－4VP－AEB ＝6×8×10－4××6×8×10＝160. 故所求三棱锥P－ABC的体积为160.]
构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向．一般通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题．在立体几何中，补形构造是最为常用的解题技巧．通过补形能将一般几何体的有关问题在特殊的几何体中求解，如将三棱锥补成特殊的长方体等．
[变式训练4] 在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
2－1 [由an＋1＝2an＋1，得
n16
an＋1＋1＝2(an＋1)(n∈N*)．
令an＋1＝bn，则bn＋1＝2bn(n∈N)． 又b1＝a1＋1＝2≠0，从而bn≠0，
所以数列{bn}是以b1＝2为首项，以2为公比的等比数列， 从而bn＝2·2
nn－1
*
＝2，
n所以an＝2－1.]
类型五 归纳类比猜想
归纳推理填空题的求解，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊的认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜
想．
类比猜想是根据两个相似类型的对象进行比较，根据两个对象相似特征，由某个对象
的性质通过合情推理得到另一个对象的性质，由此及彼．
观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2α－1；
②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
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