发布时间 : 星期六 文章2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第51讲 双曲线更新完毕开始阅读
内心．
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故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.
22
y2x2
4．(应用型)(2019·广东惠州第一次调研)已知F1，F2是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦
ab点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )
A．(1，2) C．(1，2)
B．(2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选A.如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，－c)，则过点F1与aa
渐近线y＝x平行的直线为y＝x＋c，联立，得
bb
?
?a解得 ?y＝－bx，
a
y＝x＋c，b
???
2
2
bc，2abcc
－，?.因点M在以线段F1F2为直径的圆即M??2a2?c
y＝，2x＝－
2
2
2
bccc
－?＋?? 率e＝>1，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2)．故选A. a y2x2 5．设双曲线2－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2. a3 (1)若A，B分别为此双曲线的渐近线l1，l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； →→ (2)过点N(1，0)能否作出直线l，使l交双曲线于P，Q两点，且OP·OQ＝0，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)因为e＝2，所以c2＝4a2， 因为c2＝a2＋3，所以a＝1，c＝2， x23所以双曲线方程为y－＝1，渐近线方程为y＝±x； 33 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)， 因为2|AB|＝5|F1F2|， 5 所以|AB|＝|F1F2|＝10， 2所以 （x1－x2）2＋（y1－y2）2＝10， 因为y1＝ 33 x1，y2＝－x2，2x＝x1＋x2，2y＝y1＋y2， 33 33 (x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)， 33 22 所以y1＋y2＝所以 3 [3（y1＋y2）]＋?（x1＋x2）?＝10， ?3? 1 所以3(2y)2＋(2x)2＝100， 3x2y2 即＋＝1， 7525 3 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为103，短轴长为(2)假设存在满足条件的直线l. 设l：y＝k(x－1)，l与双曲线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)， →→ 因为OP·OQ＝0， 所以x1x2＋y1y2＝0， 所以x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝0， 所以x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝0，① 103 的椭圆． 3 ?y＝k（x－1）因为?，可得(3k2－1)x2－6k2x＋3k2－3＝0， 22 ?3y－x＝3 3k2－36k2 所以x1＋x2＝2，x1x2＝2，② 3k－13k－1将②代入①得k2＋3＝0， 所以k不存在，所以假设不成立，即不存在满足条件的直线l.