发布时间 : 星期六 文章2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第51讲 双曲线更新完毕开始阅读
y2x2
答案：－＝1
2575
y22
3．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是
4________．
y22x2y2
解析：设所求双曲线的标准方程为－x＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ
4λ4λx2y2
＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
520
x2y2
答案：－＝1
520
双曲线的几何性质(多维探究) 角度一 求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长
5x2y2
已知离心率为的双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M
2ab
是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 C．84
B．16 D．4
bca2＋b2
b
【解析】 由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝
a＝b，所以|OM|＝
1c
c2－b2＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝
2a
5
，所以a＝8，b＝4，c＝45，所以双曲线C的实轴长为16.故选B. 2
【答案】 B
角度二 求双曲线的渐近线方程
x2y2x2y2
(1)(2019·武汉调研)已知双曲线C：2－2＝1(m>0，n>0)的离心率与椭圆＋＝1
mn2516
的离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0
C．4x±3y＝0或3x±4y＝0 D．4x±5y＝0或5x±4y＝0
x2y2
(2)过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，
abB，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±3x C．y＝±2x
B．y＝±D．y＝±3x 32x 2
b231－2＝， a5
【解析】 (1)由题意知，椭圆中a＝5，b＝4，所以椭圆的离心率e＝所以双曲线的离心率为x，即4x±3y＝0.故选A.
(2)如图所示，连接OA，OB，
n25n4n4
1＋2＝，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±m3m3m3
x2y2
设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a，0)，F(－c，0)．
ab
11
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×
22120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°. 因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a， 所以b＝
c2－a2＝
（2a）2－a2＝3a，
x2y2
故双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为
abb
y＝±x，即y＝±3x.
a【答案】 (1)A (2)A
角度三 求双曲线的离心率(或范围)
x2y21
(1)(2019·惠州模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则
ab2
双曲线C的离心率为( )
A.5
2
B.3 2
C.2 D.5
x2y2
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，O是
ab
坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝6|OP|，则C的离心率为( )
A.5 C.3
B．2 D.2
bb1
【解析】 (1)由题意得，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，得＝，又a2＋b2＝c2，所以
aa2c5
5a2＝4c2，所以e＝＝，故选A.
a2
bb
(2)不妨设一条渐近线的方程为y＝x，则F2到y＝x的距离d＝
aa
|bc|a＋b
2
2
＝b，在Rt△F2PO
中，|F2O|＝c，所以|PO|＝a，所以|PF1|＝6a，又|F1O|＝c，所以在△F1PO与Rt△F2PO中，根据a2＋c2－（6a）2a
余弦定理得cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，即3a2＋c2－(6a)2＝0，得3a2
2accc
＝c2，所以e＝＝3.
a
【答案】 (1)A (2)C
与双曲线几何性质有关问题的解题策略
(1)求双曲线的离心率(或范围)：依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．
(2)求双曲线的渐近线方程：依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
(3)求双曲线方程：依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，即可求双曲线的方程．
(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长：依题设条件及a，b，c之间的关系求解．
x2y2
1．(2019·山东青岛模拟)直线l：x－2y－5＝0过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与
ab其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( )
x2y2
A.－＝1 205x22
C.－y＝1 4
x2y2
B.－＝1 520y2
D．x－＝1
4
2
b1
解析：选A.根据题意，令y＝0，则x＝5，即c＝5.又＝，所以a2＝20，b2＝5，所以双曲
a2x2y2
线的方程为－＝1.
205
x2y2
2．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)设双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，
ab直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为( )
A．5 5C. 3
B.5 5D. 4
解析：选A.根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5，0)，可知半焦距c＝5， 设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形，
如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2的中位线，
又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4，所以|PF2|＝2d＝8，|PF|＝ |FF2|2－|PF2|2＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以
c
a＝1，故e＝＝5.故选A.
a
x2y2
3．设双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2
ab的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为( )
1
A．y＝±x
2C．y＝±x 解析：选C.
如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直bb
c，?，?c，－?.又于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为?a??a??A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)．
b2?→?b2?→?
所以A1B＝?c＋a，a?，A2C＝?c－a，－a?. →→
因为A1B⊥A2C，所以A1B·A2C＝0， b2b2
即(c＋a)(c－a)－·＝0，
aab4
即c－a－2＝0，
a
2
2
2
2
B．y＝±2x 2
D．y＝±2x