发布时间 : 星期五 文章中考数学易错题专题训练-直角三角形的边角关系练习题及答案解析更新完毕开始阅读
∴5PA+4PC＝5（PA+
4PC）＝5（PA+PD） 5∴当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小 ∵A（﹣2，0），OC⊥AB，AE⊥BC ∴S△ABC＝∴AE＝
11AB?OC＝BC?AE 22ABnOC6?318?? BC55∴5AE＝18
∴5PA+4PC的最小值为18．
（3）取AB中点F，以F为圆心、FA的长为半径画圆 当∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°时，即AQ或BQ垂直x轴，
∴只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90° ∴∠AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q
∵当Q在⊙F上运动时（不与A、B重合），∠AQB＝90° ∴直线l与⊙F相切于点Q时，满足∠AQB＝90°的点Q只有一个 此时，连接FQ，过点Q作QG⊥x轴于点G ∴∠FQT＝90°
∵F为A（﹣2，0）、B（4，0）的中点 ∴F（1，0），FQ＝FA＝3 ∵T（﹣4，0） ∴TF＝5，cos∠QFT＝
FQ3? TF5∵Rt△FGQ中，cos∠QFT＝∴FG＝
FG3? FQ539FQ＝ 55294912??∴xQ＝1﹣??，QG＝FQ2?FG2?32???? 555?5?①若点Q在x轴上方，则Q（?，） 设直线l解析式为：y＝kx+b
412553??4k?b?0?k???∴?44 12 解得：??k?b???5?b?3?5∴直线l：y?3x?3 4?②若点Q在x轴下方，则Q（?，4512） 5∴直线l：y??3x?3 43x?3或4综上所述，直线l的解析式为y?3y??x?3
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【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论
7．如图，公路AB为东西走向，在点A北偏东36.5?方向上，距离5千米处是村庄M，在点A北偏东53.5?方向上，距离10千米处是村庄N；要在公路AB旁修建一个土特产收购站P(取点P在AB上)，使得M，N两村庄到P站的距离之和最短，请在图中作出
P的位置（不写作法）并计算：
（1）M，N两村庄之间的距离；
（2）P到M、N距离之和的最小值.（参考数据：sin36.5°＝0.6，cos36.5°＝0.8，tan36.5°＝0.75计算结果保留根号.）
【答案】(1) M，N两村庄之间的距离为29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是
55千米． 【解析】 【分析】
（1）作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．求出DN，DM，利用勾股定理即可解决问题．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长． 【详解】
解：作N关于AB的对称点N'与AB交于E，连结MN’与AB交于P，则P为土特产收购站的位置．
（1）在Rt△ANE中，AN=10，∠NAB=36.5° ∴NE=AN?sin∠NAB=10?sin36.5°=6， AE=AN?cos∠NAB=10?cos36.5°=8， 过M作MC⊥AB于点C，
在Rt△MAC中，AM=5，∠MAB=53.5° ∴AC=MA?sin∠AMB=MA?sin36.5°=3， MC=MA?cos∠AMC=MA?cos36.5°=4， 过点M作MD⊥NE于点D， 在Rt△MND中，MD=AE-AC=5， ND=NE-MC=2， ∴MN=52?22=29，
即M，N两村庄之间的距离为29千米．
（2）由题意可知，M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长． DN′=10，MD=5，在Rt△MDN′中，由勾股定理，得 MN′=52?102=55（千米）
∴村庄M、N到P站的最短距离和是55千米． 【点睛】
本题考查解直角三角形，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
8．如图，在?ABCD中，AC与BD交于点O，AC⊥BC于点C，将△ABC沿AC翻折得到△AEC，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若AC＝4，BC＝3，求sin∠ABD的值．
【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】
613 65（1）根据?ABCD中，AC⊥BC，而△ABC≌△AEC，不难证明；
（2）依据已知条件，在△ABD或△AOC作垂线AF或OF，求出相应边的长度，即可求出∠ABD的正弦值． 【详解】
（1）证明：∵将△ABC沿AC翻折得到△AEC， ∴BC＝CE，AC⊥CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形， ∵AC⊥CE，
∴四边形ACED是矩形．
（2）解：方法一、如图1所示，过点A作AF⊥BD于点F， ∵BE＝2BC＝2×3＝6，DE＝AC＝4， ∴在Rt△BDE中，
BD?BE?DE?6?4?213∵S△BDE＝
222211×DE?AD＝AF?BD， 22∴AF＝4?3613， ?13213∵Rt△ABC中，AB＝32?42＝5， ∴Rt△ABF中，
AF613613??sin∠ABF＝sin∠ABD＝AB1365．
5方法二、如图2所示，过点O作OF⊥AB于点F，