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连续时间信号Fourier变换的数值近似计算
连续时间信号频谱计算是信号和系统频域分析的基础。由于实际信号大多无简单的解析
表达式，所以必须用近似的方法进行计算。本题的目的对频谱计算中误差的原因进行初步的分析，希望能在计算实际信号频谱的近似计算中起一定的指导作用。
若信号x(t)的非零值在t?0，在可用我们提供的函数ctft近似计算其频谱。函数ctft的
[X,f]=ctft(x,Fs,N)
其中调用变量x 存放信号x(t)的抽样值，Fs表示对连续信号x(t)的抽样频率(Hz)，N表示用DFT进行近似计算时DFT 的点数，为提高算法的计算效率，N最好取2的整数次幂，如512, 1024等。返回变量X是计算出的信号频谱，f(单位Hz)表示对应的频率点。返回变量X一般是复数，可用函数abs(X)计算出幅度谱，函数angle(X) 计算出相位谱。 (1)取Fs=50Hz, N=1024 近似计算信号x(t)?e?tu(t)的频谱，并和理论值进行比较； (2)若将信号的时域有效宽度Δt定义为
调用形式为
0.1xmax(t)?x(Δt)
试分析时域有效宽度Δt对近似计算的影响。给出一个由信号时域有效宽度Δt估计近似计算中所需信号长度Td?NFs的经验公式。 (3)定义信号频域有效宽度Δf为
0.1Xmax(f)?X(Δf)
给出一个由信号频域有效宽度Δf估计近似计算中所需抽样频率Fs的经验公式。 (1)经计算其理论频谱为x(jw)?1
1?j?定义函数： function [X,f]=ctft(x,Fs,N)
X=fftshift(fft(x,N))/Fs; f=-Fs/2+(0:N-1)*Fs/N; Fs=50; N=1024; t=0:1/Fs:5;
x=exp(-t).*(t>0); [X,f]=ctft(x,Fs,N); figure(1);
subplot(3,1,1); plot(t,x); grid;
xlabel('t ');ylabel('f(t)'); title('f(t)'); subplot(3,1,2); plot(f,abs(X)); grid;
xlabel('f ');ylabel('abs(F(jW))'); title('幅度频谱'); subplot(3,1,3); plot(f,angle(X)); grid;
xlabel('f ');ylabel('angle(F(jW))'); title('相位频谱'); figure(2);
P=1./(1+j*f*2*pi); subplot(2,1,1); plot(f,abs(P)); xlabel('f ');
title('幅值频谱理论值'); grid;
subplot(2,1,2); plot(f,angle(P)); xlabel('f ');
title('相位频谱理论值'); grid; figure(3);
subplot(2,1,1);
plot(f,abs(P)-abs(X)); xlabel('f (Hz)'); title('幅值误差'); grid;
subplot(2,1,2);
plot(f,angle(P)-angle(X)); xlabel('f ');
title('相位误差'); grid; （2）
0.1xmax(t)?x(Δt)
对于第一问的函数，最大值为1，经计算有效带宽在（0,2.3025) 对应于N=115 Fs=50; N=1024 t=0:1/Fs:5
x=exp(-t).*(t>0); [X,f]=ctft(x,Fs,N);
P=1./(1+j*f*2*pi) subplot(4,1,1);
plot(f,abs(P)-abs(X)); xlabel('f ');
title('幅值误差'); grid clear Fs=50; N=116 t=0:1/Fs:5
x=exp(-t).*(t>0); [X,f]=ctft(x,Fs,N); P=1./(1+j*f*2*pi) subplot(4,1,2);
plot(f,abs(P)-abs(X)); xlabel('f '); title('N'); grid clear Fs=50; N=174 t=0:1/Fs:5
x=exp(-t).*(t>0); [X,f]=ctft(x,Fs,N); P=1./(1+j*f*2*pi) subplot(4,1,3);
plot(f,abs(P)-abs(X)); xlabel('f '); title('1.5N'); grid clear Fs=50; N=230 t=0:1/Fs:5
x=exp(-t).*(t>0); [X,f]=ctft(x,Fs,N); P=1./(1+j*f*2*pi) subplot(4,1,4);
plot(f,abs(P)-abs(X)); xlabel('f '); title('2N'); grid
结果分析：由（1）得，抽样后计算后的频谱最大误差在0.02左右，取一倍的N进行抽样时，其最大误差在0.1左右，误差较大，取1.5N进行抽样后，最大误差接近0.05，取两倍N进
行抽样后，发现最大误差于实际接近。可见，以两倍的N抽样比较合适。对应的信号长度为Td?2△t
（3）经计算△f??1.6 Fs=50; N=1024 t=0:1/Fs:5
x=exp(-t).*(t>0); [X,f]=ctft(x,Fs,N); P=1./(1+j*f*2*pi) subplot(4,1,1);
plot(f,abs(P)-abs(X)); xlabel('f ');
title('幅值误差'); grid clear Fs=150; N=1024 t=0:1/Fs:5
x=exp(-t).*(t>0); [X,f]=ctft(x,Fs,N); P=1./(1+j*f*2*pi) subplot(4,1,2);
plot(f,abs(P)-abs(X)); xlabel('f '); title('Fs=150'); grid clear Fs=200; N=1024 t=0:1/Fs:5
x=exp(-t).*(t>0); [X,f]=ctft(x,Fs,N); P=1./(1+j*f*2*pi) subplot(4,1,3);
plot(f,abs(P)-abs(X)); xlabel('f '); title('Fs=200'); grid clear Fs=250 N=1024 t=0:1/Fs:5