发布时间 : 星期六 文章高中数学组卷函数冉更新完毕开始阅读
9．（2006?江苏）对正整数n，设曲线y=xn（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列
的前n项和的公式是 2n+1﹣2 ．
【解答】解：y′=nxn﹣1﹣（n+1）xn，
曲线y=xn（1﹣x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣1﹣（n+1）2n 切点为（2，﹣2n），
所以切线方程为y+2n=k（x﹣2）， 令x=0得an=（n+1）2n， 令bn=数列
．
的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1﹣2．
故答案为：2n+1﹣2．
10．（2008?江苏）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为 ln2﹣1 ．
【解答】解：y′=（lnx）′=，令=得x=2， ∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b， ∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1． 故答案为：ln2﹣1
11．（2007?湖北）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）= 3 ．
【解答】解：由已知切点在切线上，所以f（1）=斜率，所以
，
，切点处的导数为切线
所以f（1）+f′（1）=3 故答案为：3
12．（2008?江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则
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a= 4 ． 【解答】解：
①若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；
②当x＞0，即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=
，则g′（x）=
，
所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减， 因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；
③当x＜0，即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤g（x）=
在区间[﹣1，0）上单调递增，
，
因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4． 答案为：4．
13．（2015?新课标Ⅱ）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a= 8 ．
【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+， 曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，
则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1． 由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切， 故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1， 得ax2+ax+2=0，
又a≠0，两线相切有一切点， 所以有△=a2﹣8a=0， 解得a=8． 故答案为：8．
14．（2015?陕西）设曲线y=ex在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为 （1，1） ．
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【解答】解：∵f'（x）=ex， ∴f'（0）=e0=1．
∵y=ex在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直 ∴点P处的切线斜率为﹣1． 又y'=﹣∴﹣
，设点P（x0，y0） =﹣1，
∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1 ∴y0=1
∴点P（1，1） 故答案为：（1，1）
15．（2005?陕西）曲线【解答】解：因为
在点（1，1）处的切线方程为 x+y﹣2=0 ． ，所以
，
，
所以在点（1，1）处的切线斜率
所以切线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即切线方程为x+y﹣2=0． 故答案为：x+y﹣2=0．
16．（2012?浙江）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）
2
=2到直线l：y=x的距离，则实数a= ．
，
【解答】解：圆x2+（y+4）2=2的圆心为（0，﹣4），半径为圆心到直线y=x的距离为
=2
，
﹣
=
∴曲线C2：x2+（y+4）2=2到直线l：y=x的距离为2则曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于令y′=2x=1解得x=，故切点为（，+a），
，
．
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切线方程为y﹣（+a）=x﹣即x﹣y﹣+a=0， 由题意可知x﹣y﹣+a=0与直线y=x的距离为
，
即解得a=或﹣．
当a=﹣时直线y=x与曲线C1：y=x2+a相交，故不符合题意，舍去． 故答案为：．
三．解答题（共11小题）
17．（2006?江西）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值． （1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围． 【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b 由
解得，
f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表： x f′（x） f（x） （﹣∞，﹣） + ↑ ﹣ 0 极大值 （﹣，1） ﹣ ↓ 1 0 极小值 （1，+∞） + ↑ 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）． （2）
当x=﹣时，f（x）=
，
+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c． 解得c＜﹣1或c＞2．
18．（2011?安徽）设
，其中a为正实数
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