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习题1.2
1．
dydx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：
dy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c
yy=ex2+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0
原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= ex2.
2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy
dydy=-
1y2x?1dx
两边积分: -
1=-ln|x+1|+ln|c| y=
1
yln|c(x?1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=
1
ln|c(x?1)|23．
dy?ydx=
1xy?x3y
2 解：原方程为：
dy1dx=
1?yyx?x3
1?y2dy=
1yx?x3dx
两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2
4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：
1?yydy=-
x?1xdx
两边积分：ln|xy|+x-y=c
另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
1
dyx?ydx=-
x?y令yx=u 则dy=u+xdudxdx 代入有：
-
u?12du=
1xdx
u?1ln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y2+x2)=c-2arctgyx2.
6. x
dy22dx-y+
x?y=0
解：原方程为：
dydx=
yx+
|x|y2x-1?(x)
则令
y=u dyxdx=u+ x
dudx
1 du=sgnx 1dx
1?u2xarcsin
yx=sgnx ln|x|+c
7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：
dy=
dx
tgyctgx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=
1cccosx=
cosx 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.
所以原方程的通解为sinycosx=c. 2?3x8
dydx+
eyy=0
dy2 解：原方程为：
xdx=
eyye3
2 e
3x-3e
?y2=c.
9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：
dydx=
yxln
yx 令ydyx=u ,则dx=u+ x
dudx
2
u+ x
dudx=ulnu
ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln
yx=cy.
10.
dydx=ex?y
解：原方程为：
dydx=exe?y
ey=cex
11
dydx=(x+y)2
解：令x+y=u,则
dydx=
dudx-1
dudx-1=u2
11?u2du=dx
arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c
12.
dydx=
1(x?y)2
解：令x+y=u,则dy=dudxdx-1
dudx-1=
1u2
u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.
dy2x?y?1dx=
x?2y?1解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y2-y)-dx2+x=c xy-y2+y-x2-x=c
14: dydx=
x?y?5x?y?2
解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(
1212y+2y)-d(
2x2+5x)=0
3
y2+4y+x2+10x-2xy=c. 15:
dydx=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy?1
解：原方程为：
dydx=（x+4y）2+3 令x+4y=u 则
dy=
1dudx4dx-
14
1du4dx-
14=u2+3
dudx=4 u2+13
u=32tg(6x+c)-1
tg(6x+c)=
23(x+4y+1).
16:证明方程xdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：ydx1） y(1+x2y2)dx=xdy
2） xdy=2?x2 y2 ydx2-x2y2
证明： 令xy=u,则xdydudx+y=
dx
则dydx=
1duuxdx-x2，有：
xduudx=f(u)+1
1du=1xdx
u(f(u)?1) 所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则
dy1dudx=
xdx-
ux2 (1)
原方程可化为：
dy=
ydxx[1+（xy）2] (2) 将1代入2式有：1du-uu2xdxx2=
x(1+u)
u=u2?2+cx
17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y 则与x轴，y轴交点分别为：
4