发布时间 : 星期六 文章四升五年级奥数教案更新完毕开始阅读
解析 a*b是这样计算的：先求a与b的乘积，再求此乘积与a的和，最后再减去b． (4*6)*(6*4)＝(4×6＋4－6)*(6×4＋6－4) ＝22*26
＝22×26＋22－26 ＝568
这个例子说明4*6≠6*4，计算时要严格按照运算顺序，且先算括号内的．
例5 对于正整数a与b，规定a*b?a?(a?1)?(a?2)?...?(a?b?1)．如果
(x*3)*2?3660，那么x?？
解析 a*b表示a是第一个乘数，以后每一个乘数比前一个乘数多1，一直乘到(a?b?1)为止． 设x*3?a，则a*2?a(a?1)?3660?60?61，得a?60
所以x*3?60，x*3?x(x?1)(x?2)?60，即3×4×5＝60，所以x?3． 解题的关键是要学会把原式化简，所以采用设值方法．
·应用与探究·
１．如果定义a△b?a?b，其中a,b都是自然数，那么9△2＝？（11） ２．如果定义a◇b?2?a?b，其中a,b都是自然数，那么(3◇5)◇7＝？（29） ３．如果定义a*b?2?a?b，其中a,b都是自然数，那么5*2*2＝？（5）
４．a*b表示a的3倍减去b，例如：1*2＝3×1－2＝1．根据以上的规定，
计算：①10*6；②7*(2*1)． （①24；②16）
５．定义新运算a?b?a?b?a?b，求：①5?3；②(1?2)?3． （①23；②23）
６．如果令A※B?4A?3B，例如2※4＝4×2＋3×4＝20．那么(2※3)※(4※5)的值是多
少？（161）
７．观察5*2＝5＋55＝60，7*4＝7＋77＋777＋7777＝8638，推知9*5的值是多少？ （11105） ８．a◎b?2?a?3?b，其中a,b表示两个自然数，那么(2◎3)◎4＝？（38）
９．设“■”是一种新的运算规则，如2■3＝2＋3＋4＝9，5■4＝5＋6＋7＋8＝26，按此规则计算：①7■4；②1■x?15，求x?？ （①34；②5）
１０．如果4?2＝14，5?3＝22，3?5＝4，7?18＝31，求6?9的值是多少？（27）
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第十三讲 加法原理与乘法原理
·知识引领·
加法原理和乘法原理是计数中最常用、也是最基本的两个原理．所谓计数，就是数数，把一些对象的具体数目数出来，当然，情况简单时可以一个一个地数．如果数目较大时，一个一个地数是不可行的，利用加法原理和乘法原理，可以帮助我们计数．
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，?，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋?＋mn种不同的方法．
应用加法原理的关键是分类，即将所有计数对象依据同一标准，分为不重不漏的若干类．
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，?，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1×m2×?×mn种不同的方法．
应用乘法原理的关键是分步，即将一个复杂的过程分解为若干个接连进行的简单过程．分步时要注意其合理性，各步骤顺次完成后就完成了原事件．
·经典题例·
例1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有2班，轮船有3班．那么，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解析 因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4＋2＋3＝9（种）不同的走法．
例2 学校组织读书活动，要求每位同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的英语书150本，不同的科技书200本，不同的小说书100本．他要借一本书，问有多少种不同的选法？
解析 在这个问题上，小明选一本书有三类方法，即要么选英语，要么选科技书，要么选小说书，所以应该用加法原理计算：
150＋200＋100＝450（种）
例3 如图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走，那么从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
乙
甲 丙
解析 从甲地到丙地共有两大类方法：
第一类：从甲地经乙地到丙地，这时要分两步走．第一步，从甲地到乙地，共有4种方法；第二步，从乙地到丙地共有2种走法，所以从甲地经乙地到丙地共有4×2＝8（种）走法．
第二类：从甲地直接到丙地，由条件可知，有3种不同走法．
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因此，一共有4×2＋3＝11（种）．
例4 有5家英国公司、6家日本公司、8家中国公司参加某国际会议洽谈贸易，彼此都希望与异国的每个公司单独洽谈一次，问：要安排多少次会谈场次？
解析 此题既用乘法原理，又用加法原理．
由乘法原理，中、英会谈需5×8个场次，英、日会谈需5×6个场次，中、日会谈需6×8个场次，这三类会谈互不重叠，由加法原理，共需5×8＋5×6＋6×8＝118个场次．
例5 1995的数字和是1＋9＋9＋5＝24．问：小于2000的四位数中，数字和等于24的数共有多少个？
解析 小于2000的四位数千位数字是1，要它数字和为24，只需其余三位数字和是23．因为十位、个位数字和最多为9＋9＝18，因此，百位数字至少是5．
百位为5时，只有1599一个； 百位为6时，有1689，1698两个；
百位为7时，有1779，1788，1797三个；
百位为8时，有1869，1878，1887，1896四个；
百位为9时，有1959，1968，1977，1986，1995五个． 总计共：1＋2＋3＋4＋5＝15（个）．
例6 有壹角币1张，贰角币1张，伍角币1张，壹元币4张，伍元币2张，用这些钱币任意付款，可以付不同数额的款项共有多少种？
解析 为了付某数额的款项，壹角币可以不取或取1张，有两种取法；同样，贰角币、伍角币也各有两种取法；壹元币可以不取，或取1张、2张、3张、4张，有5种取法；同理，伍元币有3种取法．
由乘法原理，并除去都不取的情况，不同数额的款项有2×2×2×5×3－1＝119（种）．
·应用与探究·
１．3所学校共订300份《绵阳晚报》，每所学校最少订99份，最多订101份．一共有多少种不同的订法？（7种）
２．数字和是4的三位数有多少个？（10个）
３．有5件不同的上衣，3条不同的裤子，4顶不同的帽子．从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束，最多有多少种不同的搭配方式？
解：5×3×4＝60（种）
４．书架上有6本不同的画报、10本不同的科技书，请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书，共有多少种不同的取法？
解：6×10＝60（种）
５．甲、乙、丙三人去照相，摄影师要他们排成一行，共有几种不同的排法？
解：3×2×1＝6（种）
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６．一辆长途车，中途要停靠六个站，那么要准备多少种不同的车票？
解：（7＋6＋……＋1)×2＝56（种）
７．某小组的一次集会，参会的人每两人握手一次，共握手36次，这个小组有多少人？
（9人）
８．用0，1，2，3，8，7六个数字可以组成多少个能被9整除而又没有重复数字的四位数？
解：3×3×2×1＋4×3×2×1＝42（个）
９．有6只颜色不同的小球放入3只不同的盒子里，每只盒子只放一只球，有多少种不同的放法？
解：6×5×4＝120（个）
１０．A、B、C、D、E五个同学排成一排，其中A、B两人不排在一起，共有多少种不同的排法？
解：3×2×1×4×3＝72（种）
１１．有6个小朋友，要每两个小朋友互通一次电话，你能算出他们共打了几次电话？
解：6×5÷2＝15（次）
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