发布时间 : 星期六 文章四升五年级奥数教案更新完毕开始阅读
第八讲 鸡兔同笼问题
·知识引领·
解答鸡兔同笼的问题通常是用假设法，首先要对题目中的条件进行分析，找出题目中哪一个量相当于兔，哪一个量相当于鸡，鸡兔的总只数和总脚数各是多少，再根据基本数量关系进行推算，使问题得以解决．
它的基本数量关系式是：
鸡的只数＝(每只兔的脚数×鸡兔总数－实际脚数)÷(每只兔的脚数－每只鸡的脚数) 兔的只数＝(实际脚数－每只鸡的脚数×鸡兔总数)÷(每只兔的脚数－每只鸡的脚数) 当然，这只是一个最基本的模型，真正在解题时还要依据实际的情况去具体分析．
·经典题例·
例1 笼子里鸡和兔共8只，共有22条腿，鸡、兔各有几只？
解析 假设8只全是兔，那么共有脚4×8＝32（只），这样就比实际多出32－22＝10（只）脚．这是因为把鸡当作兔子来算每只多算了4－2＝2（只）脚，那么10只脚应该是10÷2＝5（只）鸡多算的，因此鸡有5只，兔有8－5＝3（只）．
答：鸡有5只，兔有3只．
例2 特长学校举行数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得8分，每做错一题倒扣5分．小强得了41分，他做对了多少道题？
解析 假设小强做对10题，则最终得分为10×8＝80（分），比实际得分41分多得39分，这多得的39分是把其中做错的题换成做对的题而得到的．每把一道做错的题换成做对的题，得分就从倒扣5分变成得8分，所以总得分增加了8＋5＝13（分），所以做错的题为39÷13＝3（道）．
小强做对了10－(10×8－41)÷(5＋8)＝7（道）． 答：他做对了7道题．
例3 老师和学生100人共种了100棵树，已知老师一个人种4棵，学生4个人种1棵，那么老师和学生各有多少人？分别种了多少棵树？
解析 假设100人都是老师，那么共种树4×100＝400（棵），比实际多种了400－100＝300（棵）．为什么多出了300棵呢？这是因为把其中的学生当成老师了，现在调整回去，每次把4个学生换成4个老师，所种树的棵数就多了4×4－1＝15（棵），所以，这多出的300棵树，需要换300÷15＝20（次），所以换成老师的学生数为4×20＝80（人），80名学生共种树80÷4＝20（棵），老师人数是100－80＝20（人），20名老师共种树20×4＝80（棵）．
答：老师有20人，种了80棵树；学生有80人，种了20棵树．
例4 买来5元、1元和8角的邮票共15枚，总价是30.2元，其中5元和8角的邮票枚数相等，三种邮票各有多少枚？
解析 假设15枚全部是1元（即10角）的邮票，那么总价应该是10×15＝150（角），比实际302角少了302－150＝152（角）．由于5元与8角的邮票枚数相等，因此每次可以用1枚5元和1枚8角来换2枚10角的邮票，这样每换一次可以补上50＋8－10×2＝38（角），可见替换152÷38＝4（次）就可补足少掉的152角，所以5元和8角的邮票各有4枚．
答：5元的邮票有4枚，1元的邮票有7枚，8角的邮票有4枚．
17
例5 老师发给甲班每人4张白纸，乙班每人3张白纸，共发白纸716张；若发给甲班每人3张白纸，乙班每人4张白纸，则共发白纸705张．问甲、乙两班各有多少人？
解析 甲班与乙班人数之差是716－705＝11（人） 甲班的人数是(3×11＋716)÷(3＋4)＝107（人） 乙班的人数是107－11＝96（人） 答：甲班有107人，乙班有96人．
·应用与探究·
１．今有鸡兔同笼，共有35个头，94只脚，则鸡和兔各多少只？
解：兔：(94－35×2)÷(4－2)＝12（只）； 鸡：35－12＝23（只）
２．松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个，它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，这几天当中的雨天有多少天？
解：20×(112÷14)－112＝48（个）； 48÷(20－12)＝6（天）
３．一张桌子4条腿，一个洗脸盆架3条腿，现在有桌子和洗脸盆架共100个，合计有340条腿，桌子和洗脸盆架各有多少个？
解：桌子：(340－100×3)÷(4－3)＝40（张）； 盆架：100－40＝60（个）
４．把155米长的电线剪成25根，一部分电线每根长5米，另一部分电线每根长8米，则8米和5米长的电线各有多少根？
解：8米：(155－25×5)÷(8－5)＝10（根）； 5米：25－10＝15（根）
５．停车场共有汽车和摩托车24辆，其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有2个轮子，所有车辆共有68个轮子，那么汽车和摩托车各有多少辆？
解：汽车：(68－24×2)÷(4－2)＝10（辆）； 摩托车：24－10＝14（辆）
６．2分硬币和5分硬币共23枚，合计85分，那么2分、5分硬币各几枚？
解：5分：(85－23×2)÷(5－2)＝13（枚）； 2分：23－13＝10（枚）
７．鸡、兔共有66只脚，若将鸡数与兔数互换，则共有60只脚，则原来有鸡和兔各多少只？
解：(66＋60)÷(2＋4)＝21（只）；鸡：(21×4－66)÷(4－2)＝9（只）；兔：21－9＝12（只）
８．五年级进行数学比赛，规定答对一题得5分，错一题扣2分，共20道题，小江得了86分，他答对了多少道题？
解：答错：(20×5－86)÷(5＋2)＝2（道）； 答对：20－2＝18（道）
９．特长学校100个学生参加数学竞赛，平均得分63分，其中男生平均分为60分，女生平均分为70分，男生比女生多多少人？
解：63×100－60×100＝300（分）；女：300÷(70－60)＝30（人）；男：100－30＝70（人） 多：70－30＝40（人）
１０．英语竞赛有20道题，做对一道得7分，做错一道倒扣去4分，不答0分，小宇得了100分，他有几道题没答，几道题答错？ 解：20×7－100＝40（分）；40－7＝33＝11×3；（有1道题没答，3道题答错）
18
第九讲 长方形的面积
·知识引领·
长方形和正方形是我们所认识的基本几何图形，计算它们的面积也是数学学习中几何方面的重要内容．掌握好这部分知识，也为我们将来学习其他几何图形做好必要的准备．在解这类题目时，要注意以下几点：
1、能熟练运用长方形和正方形的面积公式进行解题； 2、能够将长方形、正方形的面积与周长相逆运算；
3、能够利用长方形的特性来帮助解题，会运用简单的分割方法．
·经典题例·
例1 一个长方形的长增加3米，长方形的面积就增加了12平方米．如果宽减少2米，长方形的面积就减少14平方米．问原来长方形面积是多少平方米？
解析 根据题意，将原来的长方形的长和宽分别变化，画图来帮助分析：
3
14 212
A B
从图A中反映了长方形的长增加3米，面积就增加了12平方米，可用12÷3求出原来长方形的宽是4米；从图B中反映了长方形的宽减少2米，面积就减少了14平方米，可用14÷2求出原来长方形的长是7米．
知道了长方形的长和宽，就可以求出原来长方形的面积：
(12÷3)×(14÷2)＝28（平方米）
例2 如图，用四个相同的小长方形拼成一个面积为100平方厘米的大正方形，每个小长方形的周长是多少厘米？
解析 假设每个小长方形的长、宽分别为a、b，大正方形的边长为x．由题意知x＝100，则x＝10．由图可知a＋b＝x，要求小长方形周长，就是求2(a＋b)，所以每个小长方形的周长是2×10＝20（厘米）．
2
例3 如图，将一个正方形划分为9个小长方形，这些小长方形的周长的总和是96厘米，那么这个大正方形的面积是多少平方厘米？
解析 所有小长方形周长和是由外面的4条正方形边长再加上中间4条正方形的边长（分别算了2
19
次）组成的．
正方形边长是96÷(4＋4×2)＝8（厘米） 面积是8×8＝64（平方厘米）
例4 如图C所示，有两个正方形，大小两个正方形对应边的距离均为1厘米．如果两个正方形之间部分的面积是20平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？
1厘米 C D
解析 本题关键是要求出图中小正方形的边长．因为已知两个正方形之间部分的面积是20平方厘米，所以就要把两个正方形之间部分进行分割，如图D．
把两个正方形之间部分分割成相等的4块，每块的长是小正方形边长加上1厘米，宽是1厘米，所以小正方形的边长是20÷4÷1－1＝4（厘米），小正方形的面积是4×4＝16（平方厘米）．
例5 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等．用9个这样的小长方形拼成的大长方形（如图）的周长是58厘米，问这个大长方形的面积是多少平方厘米？
解析 要求得大长方形的面积，首先要知道小长方形的长和宽，才能求出小长方形的面积，最后求出大长方形的面积．
通过对图形的观察，可以发现大长方形的两条长，分别相当于4条小长方形的长之和、5条小长方形的宽之和，得到一个等式：4长＝5宽．
又因为大长方形的周长是58厘米，通过图形观察，可以得到大长方形的周长是由6条小长方形的长和7条小长方形的宽组成，得到一个等式：6长＋7宽＝58．
现在将这两个等式分别扩大3倍和2倍，得12长＝15宽，12长＋14宽＝116．通过代换法可以得到：15宽＋14宽＝116，宽＝4，则长＝5×4÷4＝5．
由于大长方形的面积是由9个小长方形的面积组成，所以具体列式是5×4×9＝180（平方厘米）．
例6 如图，正方形ABCD边长是10厘米，长方形EFGH的长为8厘米、宽为5厘米．问阴影部分甲与阴影部分乙的面积差是多少平方厘米？
D AM EH 甲 乙
FGN
B C
解析 设正方形ABCD的面积为a，长方形EFGH的面积为b，重叠部分EFNM的面积为c，则阴影部分的面积差是(a－c)—(b―c)＝a－b．说明阴影部分的面积差与重叠部分的面积大小无关，应等于正方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积之差．
10×10－8×5＝60（平方厘米）
20