发布时间 : 星期六 文章2020高考数学大一轮复习第八章立体几何8-6量空间向及其运算教师用书更新完毕开始阅读
2019年
∴⊥，∴AA1⊥BD.
思维升华 (1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；
(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角； (3)可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．
如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶
点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°. (1)求的长；
(2)求与夹角的余弦值． 解 (1)记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝.
||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6， ∴||＝，即AC1的长为. (2)＝b＋c－a，＝a＋b， ∴||＝，||＝，
→
BD1·＝(b＋c－a)·(a＋b)
＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1， ∴cos〈，〉＝＝.
2019年
即与夹角的余弦值为.
20．坐标法在立体几何中的应用
典例 (14分)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点． (1)求的模；
(2)求cos〈，〉的值； (3)求证：A1B⊥C1M.
思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解． 规范解答
(1)解 如图，建立空间直角坐标系． 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， 所以||＝＝.
[3分]
(2)解 依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)． 所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
→
BA1·＝3，||＝，||＝，
所以＝.
→→BA1·CB1
cos〈，〉＝→→ |BA1||CB1|
[8分]
(3)证明 依题意得C1(0,0,2)，M(，，2)，
→
A1B＝(－1,1，－2)， →
C1M＝(，，0)．
[10分]
所以·＝－＋＋0＝0， 所以⊥，即A1B⊥C1M. 1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
[14分]
2019年
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案 A
解析 a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
2．(2016·郑州模拟)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于( ) A．9 B．－9 C．－3 D．3 答案 B
解析 由题意知c＝xa＋yb，
即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)， ∴解得λ＝－9.
3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为( ) A．－2 B．－ C. D．2 答案 D
解析 由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0， 所以14－7λ＝0，解得λ＝2.
4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
2019年 A. B. C．1 D.答案 D
解析 ∵＝＋＋，
3－2 →
∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·ED
＝1＋1＋1－＝3－， 故||＝.
5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案 C 解析 如图，
设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c， 所以cos〈，〉＝＝，
所以异面直线a，b所成的角等于60°， 故选C.
6．(2016·深圳模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为( ) A.a C.a 答案 A
解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)． 设M(x，y，z)， ∵点M在AC1上且→AM ＝，
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
B.a D.a