发布时间 : 星期一 文章抚顺市2018年中考数学试题（含解析）更新完毕开始阅读
∴以点P为圆心，PA为半径的圆必过A，Q，C， ∴∠APQ=2∠ACQ， ∵PA=PQ，
∴∠PAQ=∠PQA=（180°﹣∠APQ）=90°﹣∠ACQ， ∵∠CAF=∠ABD，∠ABD+∠BAD=90°， ∴∠BAQ=90°，
∴∠BAP=90°﹣∠PAQ=90°﹣∠ACQ， 易知，∠BCP=∠BAP， ∴∠BCP=∠ACQ， ∵∠CBP=∠CAQ， ∴△BPC∽△AQC， ∴
=
，
，
在Rt△BCD中，sinα=∴
=2sinα，
∴AQ=2BP?sinα．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出∠BCP=∠ACQ是解本题的关键．
八、解答题（满分14分）
26．（14.00分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C
（1）求抛物线的解析式； （2）点P从点A出发，以每秒
个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点
Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上． ①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上． 【分析】（1）利用待定系数法即可；
（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；
②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值． 【解答】解：（1）由已知，B点横坐标为3 ∵A、B在y=x+1上 ∴A（﹣1，0），B（3，4）
把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得
解得
∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4 （2）①过点P作PE⊥x轴于点E
∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度
∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0） ∴EQ=4﹣3t，PE=t ∵∠PQE+∠NQC=90° ∠PQE+∠EPQ=90° ∴∠EPQ=∠NQC ∴△PQE∽△QNC ∴
∴矩形PQNM的面积S=PQ?NQ=2PQ2 ∵PQ2=PE2+EQ2 ∴S=2（
）2=20t2﹣36t+18
当t=时，
S最小=20×（）2﹣36×+18=
②由①点C坐标为（3﹣2t，0）P（﹣1+t，t） ∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t ∴N点坐标为（3，8﹣6t） 由矩形对角线互相平分
∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t） 当M在抛物线上时
8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4 解得t=
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2 当N在抛物线上时，8﹣6t=4 ∴t=
综上所述当t=、
或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．
【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，解答时应注意数形结合和分类讨论的数学思想．