发布时间 : 星期四 文章2020高考数学一轮复习第十一章计数原理概率随机变量及其分布11-5古典概型学案理更新完毕开始阅读
2019年
此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(2)要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是把握事件A∩B，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三
可求一．
[易错防范] 古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算
基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．
真题演练集训
1．[2016·江苏卷]将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是
________． 答案：6
解析：解法一：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，
其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为＝.
解法二：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故
所求概率为1－＝.
2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意
度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
A地区用户满意度评分的频率分布直方图
①
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评5
分分组 频数 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 14 [80,90) 10 [90， 100] 6(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较 两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．
B地区用户满意度评分的频率分布直方图
2019年
②
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分 满意度等级 低于70分 不满意 70分到89分 满意 不低于90分 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 解：(1)如图所示．
通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而
A地区用户满意度评分比较分散．
(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图，得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋
0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.
所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．
3．[2016·天津卷]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座
谈会．
(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列
和数学期望．
解：(1)由已知，有P(A)＝＝.
所以事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以，随机变量X的分布列为
2019年 X 0 1 157 2 1544 P 15 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 课外拓展阅读
古典概型与平面向量、几何、统计等知识的综合
古典概型的考查可以和平面向量、几何、统计等知识相互交汇，在解题中要重视古典概型的计算，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事
件的个数，然后正确使用古典概型的概率计算公式进行计算．
[典例1] 甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条，
则这2条棱互相垂直的概率为( )
A. B. C. D.81
[思路分析]
[解析] 由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝ 81(种)结果，满足条件的事件是
这两条棱互相垂直，所有可能情况是：
当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边，则共有20种
结果；
当甲选底面上的一条斜边时，乙有3种选法，共有2条底面的斜边，则共有6种
结果；
当甲选一条侧棱时，乙有6种选法，共有3条侧棱，则共有18种结果，
综上所述，共有20＋6＋18＝44(种)结果，
故2条棱互相垂直的概率是.
[答案] C 温馨提示
以棱柱、棱锥及异面直线、距离等立体几何知识为载体的古典概型求解是高考中 的重要题型，题目综合性较强，有一定的难度，解题的关键是要考虑所有的位置关系．
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[典例2] 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，
b＝(1,3)．
(1)求使得事件“a∥b”发生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
[解] (1)由题意知，
m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}． 故(m，n)所有可能的取法共36种．
由a∥b，得n＝3m，
则(m，n)的取法共有2种，即(1,3)，(2,6)．
所以事件“a∥b”发生的概率为＝. (2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10，
则(m，n)的取法共有6种，
即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)．
所以事件“|a|≤|b|”发生的概率为＝.
[典例3] 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候
车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如下表所示：
组别 一 二 三 候车时间 [0,5) 人数 2 6 4 2 1 [5,10) [10,15) [15,20) [20,25] 四 五 (1)求这15名乘客的平均候车时间；
(2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
(3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．
[思路分析]