发布时间 : 星期六 文章高考数学之冲破压轴题讲与练 专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】更新完毕开始阅读
13．（2019·浙江高三月考）过抛物线y?2px?p?0?上一点P作抛物线的切线l交x轴于Q，F为焦点，
2以原点O为圆心的圆与直线l相切于点M.
（Ⅰ）当p变化时，求证：
PF为定值. QFS1的最小值. S2（Ⅱ）当p变化时，记三角形PFM的面积为S1，三角形OFM的面积为S2，求
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3?22 【解析】
（Ⅰ）设P?x0,y0?，则过P的切线l方程为y0y?p?x?x0?， 于是Q为??x0,0?. 则QF?pp?x0，PF?x0?， 22PF?1. 故QF（Ⅱ）OM???p2x0px0y0?,2 222?，22，于是M的坐标为?p?y0?p?y0p?y0?px0p2x0y01ppx0y0S2???2?22 22p?y04?p2?y0?px0y0?p?2x0p2y0?px0y0py0?x0y01?p??S1???x0????y0?2??? 2?222?2??p?y04p?y04?2S1?p?x0?y0?p?2px0??p?x0??p?2x0??p?2x0?3?3?22?， ?2xppxS2px0y000S12p?当且仅当x0?时取“”，综上的最小值为3?22
S22
14．（2019·山西高三月考（文））已知抛物线C：x?2py?p?0?，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛
2物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2交于点M （Ⅰ）求抛物线C的方程
（Ⅱ）若l1?l2，求三角形△MAB面积的最小值 【答案】（Ⅰ）x?4y；（Ⅱ）4. 【解析】
2（Ⅰ）焦点到准线的距离为2，即p?2，所以求抛物线C的方程为x?4y
2（Ⅱ）抛物线的方程为x?4y，即y?设A?x1,y1?，B?x2,y2?，
2121x，所以y??x 422x12x1x2xl1：y???x?x1?，l2：y??2?x?x2?
4242由于l1?l2，所以
x1x2???1，即x1x2??4 22设直线l方程为y?kx?m，与抛物线方程联立，得??y?kx?m所以x2?4kx?4m?0 2?x?4y??16k2?16m?0，x1?x2?4k，x1x2??4m??4，所以m?1，即l：y?kx?1 ?y???联立方程??y???x1x12x??x?2k24得，即：M?2k,?1? ?2x2x?y??1x?224|k?2k?1?1|1?k222M点到直线l的距离d?2?2k2?11?k2 |AB|?x?x??1?k????1?4x1x2??4?1?k2?
?32k2?11222所以S??4?1?k???4?1?k??4
221?k当k?0时，△MAB面积取得最小值4．
2C:y?2px(p?0)相切. l:x?y?1?015．（2019·广东高三月考（文））已知直线与焦点为F的抛物线
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值. 【答案】（Ⅰ）y?4x（Ⅱ）【解析】
（Ⅰ）将l:x?y?1?0与抛物线C:y?2px联立得：y?2py?2p?0
22232 2Ql与C相切 ???4p2?8p?0，解得：p?2
?抛物线C的方程为：y2?4x
（Ⅱ）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x?ty?1
?y2?4x2联立?得：y?4ty?4?0
?x?ty?12设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则y1?y2?4t ?x1?x2?ty1?1?ty2?1?4t?2
?线段AB中点M2t2?1,2t
设A,B,M到直线l距离分别为dA,dB,dM 则dA?dB?2dM?2?2??2t2?2t?22?1?3?22t?t?1?22?t???
?2?42223?1?33 ?当t?1时，?t?1??3? Q?t??????2442???2?44min?A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22?3?32
4216．（2019·河南南阳中学高三月考）已知平面上一定点C?2,0?和直线l:x?8，P为该平面上一动点，作
v1uuuv??uuuv1uuuv??uuuPQ?l，垂足为Q，且?PC?PQ???PC?PQ??0
22????（1）求动点P的轨迹方程；
22（2）若EF为圆N:x?(y?1)?1的任一条直径，求PE?PF的最小值．
uuuvuuuvx2y2【答案】（1）??1（2）12?43 1612
【解析】
（1）设P?x,y?，则Q?8,y? ?PC??2?x,?y?，PQ??8?x,0?
uuuvuuuvv1uuuv??uuuv1uuuv?uuuv21uuuv2?uuuQ?PC?PQ???PC?PQ??PC?PQ?0
224????12x2y2??2?x??y??8?x??0，整理可得：??1
4161222x2y2??1 ?P的轨迹方程为：
1612（2）由题意知，圆N的圆心为：?0,1?，则E,F关于?0,1?对称 设P?x,y?，E?cos?,1?sin?? ?F??cos?,1?sin??
uuuvuuuv?PE??cos??x,sin??1?y?，PF???cos??x,?sin??1?y? uuuvuuuv222?PE?PF?x?cos2???1?y??sin2??x2??y?1??1
uuuvuuuv?要求PE?PF得最小值，只需求解出点P到点?0,1?的距离d的平方的最小值
设P4cos?,23sin?
??d?16cos??23sin??1??4sin2??43sin??17
22??2Qsin????1,1? ?当sin??1时，d2取最小值：13?43 uuuvuuuv?PE?PF??min2?dmin?1?13?43?1?12?43 x2y217．（2019·湖南长沙一中高三月考（理））如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1(a?b?0)ab的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，且PF2垂直于x轴，连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，
uuuruuur 设PQ??FQ1