发布时间 : 星期六 文章高考数学之冲破压轴题讲与练 专题12 圆锥曲线中的最值、范围问题【解析版】更新完毕开始阅读
?1?3k2?0 得?2???36(1?k)?0∴k2<1且k2≠
1.① 3设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝?962kx. ，1x2＝221?3k1?3k∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)
23k?7. ＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝23k?1uuuruuur?3k2?93k2?7 >2 >2，即>0， 又∵OA?OB>2，即x1x2＋y1y2>2，∴223k?13k?112
3解得 故k的取值范围为(?1,?33)?(,1) 33x2y210．（2019·浙江高考模拟）对于椭圆2?2?1?a?b?0?，有如下性质：若点P?x0,y0?是椭圆外一点， abPA，PB是椭圆的两条切线，则切点A,B所在直线的方程是 x0xy0y?2?1，利用此结论解答下列问题： 2abx2已知椭圆C:?y2?1和点P?2,t? ?t?R?，过点P作椭圆C的两条切线，切点是A,B，记点A,B到直 2线PO（O是坐标原点）的距离是d1，d2. （Ⅰ）当t?0时，求线段AB的长； （Ⅱ）求 ABd1?d2的最大值. 【答案】（Ⅰ）AB?【解析】 2；（Ⅱ）32 4（Ⅰ）因为点P?2,t?，直线AB的方程式： 2x?ty?1， 2即x?ty?1，当t?0时，直线AB的方程是x?1， 此时AB?2. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线AB的方程是x?ty?1，直线PO的方程是tx?2y?0. 设A?x1,y1?，B?x2,y2?，则d1?d2?tx1?2y1t?42?tx2?2y2t?42. ?x1?ty1?1,又?由点A,B在直线PO的两侧可得tx1?2y1与tx2?2y2异号， x?ty?1,2?2所以d1?d2??t2?2?y2?y1?t?42?. 又AB?1?t2y1?y2， AB所以?d1?d2?1?t??4?t?. 222?t2设2?t2?x，则 ABd1?d2??x?1??x?2??x2?1??1??2??????1， ?x??x?2所以，当 AB1132?，即x?4,t2?2时，有最大值为. d1?d2x44x2y211．（2019·全国高三月考（文））已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的左焦点F1，直线l:2x?3y?6?0与 aby轴交于点P.且与椭圆交于A，B两点.A为椭圆的右顶点，B在x轴上的射影恰为F1. （1）求椭圆E的方程； （2）M为椭圆E在第一象限部分上一点，直线MP与椭圆交于另一点N，若SVPMA:SVPBN??，求?的取值范围. x2y2【答案】（1）+=1；（2）9???9?62 98 【解析】 Ql:2x?3y?6?0与椭圆的一个交点A为椭圆的右顶点 ?A(3,0). ?b2又BF1?x轴，得到点B??c,?a???， ??a?3?a?3?2?3b????2c??6?0??b?22， a?2?c?122???a?b?cx2y2椭圆E的方程为+=1. 981PA?PM?sin?APMSVPAM23?PMPM???????(??3) （2）因为 1SVPBN1?PNPN3PB?PN?sin?BPN2uuuurr?uuu所以PM??PN，由（1）可知P(0,?2)，设MN方程y?kx?2，M?x1,y1?,N?x2,y2?， 336k??y?kx?2x?x???129k2?8?2222(?)， 联立方程?x，得1?9kx?36kx?36?0，得?y?1?x?x??36??128?9?9k2?8???uuuuruuur?(3??)2108k2又PM??x1,y1?2?,PN??x2,y2?2?，有x1??x2，将其代入(*)化简可得：?23?9k?8，因 为M为椭圆E在第一象限部分上一点，所以k?2， 3108k2108(3??)2?2??(4,12)，则4??12且??3， 9k?89?8?k2解得9???9?62 x2y212．（2019·四川石室中学高三开学考试（理））己知椭圆C:2?2?1?a?b?0?上任意一点到其两个焦 ab点F1，F2的距离之和等于25，焦距为2c，圆O:x?y?c，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆 222O的任意一条直径，四边形A1AA2B面积的最大值为25． （1）求椭圆C的方程； （2）如图，若直线l1:y?kx?m?m?0?与圆O相切，且与椭圆相交于M，N两点，直线l2与l1平行且与椭圆相切于P（O，P两点位于l1的同侧），求直线l1，l2距离d的取值范围． x2y23,1?5 【答案】（1）??1（2）??54?【解析】 （1）由椭圆的定义知：2a?25?a?5， 又当直径AB?x轴时四边形A1AA2B的面积最大，最大为2ac?25?c?1，b?2 x2y2?椭圆C:??1 54（2）因为直线l1:y?kx?m?m?0?与圆O相切，?mk2?1?1?m?k2?1 ?x2y2?1??222又设直线l2:y?kx?n，联立?5消去y有5k?4x?10knx?5n?20?0 4?y?kx?n???????10kn??4?5k2?4??5n2?20??0化简有n2?5k2?4 2因为d?2m?nk2?1?m?nn?1?， mm21n?5k2?41n???1，?4??又???2，又k2?0，0?2?5?2?5 ??k?1k?1k?1?m??m?又由O，P两点位于l1的同侧，m，n异号，??5?n??2 m?d?1?n??3,1?5. m??