发布时间 : 星期日 文章药本习题3-13章大学物理（医药类）习题及答案更新完毕开始阅读
第四章 振动和波
习题解答
1．一振动的质点沿x轴作简谐振动，其振幅为5.0×10-2m，频率2.0Hz，在时间t=0时，经平衡位置处向x轴正方向运动，求运动方程。如该质点在t=0时，经平衡位置处向x轴负方向运动，求运动方程。
解：已知A?5.0?10?2m,??2.0Hz,t=0时v>0。
通解方程式为x?5.0?10?2cos(2??2?t??0)?5.0?10?2cos(4?t??0) 由t=0时x=0 有cos?0?0,速度表达式为v??0???2
dx??4??5.0?10?2sin(4?t??0) dt根据已给条件t=0时v>0 有
sin?0?0，考虑?0???2,?0???2。
∴运动方程为x?5.0?10?2cos(4?t?
?2)m
22．质量为5.0×10-3kg的振子作简谐振动，其运动方程为x?6.0?10?2cos(5t?π)
3式中，x中的单位是m，t的单位是s。试求：(a)角频率、频率、周期和振幅；(b)t=0时的
位移、速度、加速度和所受的力；(c)t=0时的动能和势能。
解：(a)根据已给条件??5rad??5,???5?,2?2?T?2???2?，5A?6.0?10?2m。
(b) 将条件t=0带入方程
2?x?Acos()??6.0?10?2?0.5??3?10?2m/s
3dx2?2?v???A?sin(?t?)??6.0?10?2?5?sin??0.26m/s
dt33dv2?2?a???A?2cos(?t?)??6.0?10?2?5?5?cos??0.75m/s
dt331 (c) 动能Ep?mv2?0.169?10?5J
211 势能Ek?kx2??2mx2?5.625?10?4J
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3．一轻弹簧受29.43N的作用力时,伸长为9.0×10-2m,今在弹簧下端悬一重量P=24.5N
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的重物，求此这重物的振动周期。
k?解：由胡克定律 F??kxF29.43?x9
??kmT?2???2?m k带入相关数值 T?2?
m24.5/9.82.5 ?2??2??2k32729.43/9?104．续上题,若在开始时将重物从平衡位置拉下6.0×10-2m,然后放开任其自由振动,求振动的振幅、初相位、运动方程和振动能量。
5．经验证明，当车辆沿竖直方向振动时，如果振动的加速度不超过1.0m/s2，乘客就不会有不舒服的感觉。若车辆竖直的振动频率为1.5Hz，求车辆振动振幅的最大允许值。
解：由加速度a?A?2有
A?a?1?2?1.13?10m 2?2?2??1.5?
6．质量为m、长圆管半径为r的比重计，浮在密度为ρ的液体中,如果沿竖直方向推动比重计一下,则比重计将上下振动.在不考虑阻力作用的情况下,试证其振动周期为
T?
2πm
rg?证：设坐标x向下为正。以比重计在水中的平衡位置为坐标零点，比重计被向下压入
水中偏离平衡位置的位移为x，比重计排开水的体积为V??r2x，其所受浮力为
F??V?gx???r2?gx
其中负号表示力的方向与位移相反。由牛顿第二定律F?ma有
d2xF???r?gx?ma?m2
dt2d2x?r2?gx?0 整理有 2?mdt令
?r2?gmd2x??，方程化为振动方程2??2x?0
dt2 10
则 T?
2???2?m?r2?g?2m? 证毕
r?g7.当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是多少?找出dT/T与dg/g之间的关系式。
解：单摆周期与加速度关系为T?2?l1g?3/2
两边取微分，则当重力加速度g改变dg时,单摆的周期T的变化dT是
dT??2?l?g?dT/T与dg/g之间的关系式
dg
dT2?l?g???TT
?3/2dg??ldg 2g8．两个同方向、同周期的简谐振动的运动方程为x1=4cos(3πt+π/3)和x2=3cos（3πt－π/6），试求它们的合振动的运动方程。
解：由同方向、同周期的简谐振动合成振幅表达式有
2A?A12?A2?2A1A2cos??42?32?2?3?4?cos(?)?5
36???3sin(?)?136?0.128??tan???4cos?3cos(?)364sin??rad
?) 合振动方程为：x?5cos(3?t?0.128
9．设某质点的位移可用两个简谐振动的叠加来表示，其运动方程为x=Asinωt+Bsin2ωt。(a)写出该质点的速度和加速度表示式；(b)这一运动是否为简谐振动？
解：(a)
v?dx?A?cos?t?2Bcos2?tdt
dva???A?2sin?t?4B?2sin2?tdt(b)不是简谐振动
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10．已知平面波源的振动方程为y=6.0×10-2cos
π
t（m），并以2.0m/s的速度把振动传9
播出去，求：(a)离波源5m处振动的运动方程；(b)这点与波源的相位差。 解：(a)
由已给方程可直接得到：??将x=5m代入波动表达式
?9,???11?,T??18s 2?18?m
?x?5y?6.0?10?2cos(t??)?6.0?10?2cos(t??)9u9185? (b)相位差???18
11．一平面简谐波，沿直径为0.14m的圆形管中的空气传播，波的平均强度为8.5×10-3Js-1m-2 ，频率为256Hz，波速为340ms-1，问波的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的空气中有多少能量？
解：已知D=0.14m，平均强度I=8.5×10-3Js-1m-2，ν=256Hz,u=840m/s。 (a)平均能量密度和最大能量密度
I8.5?10?3W???2.5?10?5J?m?3 u340Wmax?2W?5.0?10?5J?m?3(b)两个相邻相面间的空气能量E
Du0.142340E?W??()2?2.5?10?5?()?5.11?10?7J
2?2256
12．为了保持波源的振动不变，需要消耗4.0W的功率，如果波源发出的是球面波，求距波源0.5m和1.00m处的能流密度（设介质不吸收能量）。
解：平均能流密度等于单位单位面积上的功率，因此5m处的能流密度为
I?同理有：1m处为0.318Wm-2
P4?2 ??1.273Wm224?x4?(0.5)13．设平面横波1沿BP方向传播，它在B点振动的运动方程为y1=2.0×10-3cos2πt，平面横波2沿CP方向传播,它在C点振动的运动方程为y2=2.0×10-3cos（2πt+π），两式中y的单位是m，t的单位是s。P处与B相距0.40m，与C相距0.50m，波速为0.20m/s，求：(a)两波传到P处时的相位差；(b)在P处合振动的振幅。
解：(a)求两波在P点相位差： 1点在P点引起的振动为：
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