发布时间 : 星期日 文章2015高中数学 2.1合情推理与演绎推理练习 新人教A版选修2-2更新完毕开始阅读
两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB＝BD·BC.拓展到空间，在四面体A－BCD中，
2
DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、
△BDC三者面积之间关系为________．
[答案] S△ABC＝S△OBC·S△DBC
[解析] 将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S△ABC＝S△OBC·S△DBC.
16．在以原点为圆心，半径为r的圆上有一点P(x0，y0)，则圆的面积S圆＝πr，过点
2
2
2
x2y2
P的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r.在椭圆2＋2＝1(a>b>0)中，当离心率e趋近于0时，短
ab2
半轴b就趋近于长半轴a，此时椭圆就趋近于圆．类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆
＝
x2y2
________.类比过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程，则过椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点
abP(x1，y1)的椭圆的切线方程为________．
[答案] πab
x1y1
2·x＋2·y＝1 ab[解析] 当椭圆的离心率e趋近于0时，椭圆趋近于圆，此时a，b都趋近于圆的半径
r，故由圆的面积S＝πr2＝π·r·r，猜想椭圆面积S椭＝π·a·b，其严格证明可用定积
分处理．而由切线方程x0·x＋y0·y＝r变形得2·x＋2·y＝1，则过椭圆上一点P(x1，y1)的椭圆的切线方程为2·x＋2·y＝1，其严格证明可用导数求切线处理．
三、解答题 17．点P?
222??222
，?在圆C：x＋y＝1上，经过点P的圆的切线方程为x＋y＝1，
222??2
2
x0
ry0rx1ay1b?11?又点Q(2,1)在圆C外部，容易证明直线2x＋y＝1与圆相交，点R?，?在圆C的内部．直?22?
11222
线x＋y＝1与圆相离．类比上述结论，你能给出关于一点P(a，b)与圆x＋y＝r的位置22关系与相应直线与圆的位置关系的结论吗？
[解析] 点P(a，b)在⊙C：x＋y＝r上时，直线ax＋by＝r与⊙C相切；点P在⊙C内时，直线ax＋by＝r与⊙C相离；点P在⊙C外部时，直线ax＋by＝r与⊙C相交．容易证明此结论是正确的．
18．我们知道：
1＝ 1， 2＝(1＋1)＝1＋2×1＋1，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3＝(2＋1)＝2＋2×2＋1， 4＝(3＋1)＝3＋2×3＋1， ……
2
2
2
222
n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右两边分别相加，得
n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n
∴1＋2＋3＋…＋n＝
nn＋
2
2
. 2
2
2
类比上述推理方法写出求1＋2＋3＋…＋n的表达式的过程． [解析] 我们记S1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
S2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…Sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈N*)．
已知
1＝ 1， 2＝(1＋1)＝1＋3×1＋3×1＋1， 3＝(2＋1)＝2＋3×2＋3×2＋1， 4＝(3＋1)＝3＋3×3＋3×3＋1， ……
3
3
3
2
3
3
3
2
3
3
3
2
3
n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
将左右两边分别相加，得
S3(n)＝[S3(n)－n3]＋3[S2(n)－n2]＋3[S1(n)－n]＋n.
由此知S2(n)＝
选修2-2 第二章 2.1 2.1.2
一、选择题
1．“∵四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，以上推理省略的大前提为( )
A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 [答案] B
n3＋3n2＋2n－3S1n32n＋3n＋nn＝＝
6
32
n＋
6
n＋
. ?ππ?2．(2013·华池一中高二期中)“三角函数是周期函数，y＝tanx，x∈?－，?是三?22??ππ?角函数，所以y＝tanx，x∈?－，?是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确?22?
的是( )
A．推理完全正确 C．小前提不正确 [答案] D
[解析] 大前提和小前提中的三角函数不是同一概念，犯了偷换概念的错误，即推理形式不正确．
3．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( ) A．完全正确 B．推理形式不正确
C．不正确，两个“自然数”概念不一致 D．不正确，两个“整数”概念不一致 [答案] A
[解析] 大前提“凡是自然数都是整数”正确．
小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确． 4．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 C．演绎推理 [答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
5．(2014·洛阳市高二期中)观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( ) 大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b. 小前提：正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1. 结论：A1B1∥AD. A．推理正确
C．小前提出错导致推理错误 [答案] B
[解析] 由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误． 6．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”
B．大前提出错导致推理错误 D．仅结论错误 B．归纳推理 D．一次三段论 B．大前提不正确 D．推理形式不正确
结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 C．推理形式错误 [答案] C
[解析] 用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．
二、填空题
7．已知推理：“因为△ABC的三边长依次为3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若将其恢复成完整的三段论，则大前提是__________________________________．
[答案] 一条边的平方等于其它两边平方和的三角形是直角三角形． 8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提_______________________________________________________________． 小前提______________________________________________________________． 结论_____________________________________________________________． [答案] 所有一次函数的图象都是一条直线 函数y＝2x＋5是一次函数 函数y＝2x＋5的图象是一条直线
9．以下推理中，错误的序号为________． ①∵ab＝ac，∴b＝c； ②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数； ④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α. [答案] ①
[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．
三、解答题
10．将下列演绎推理写成三段论的形式． (1)菱形的对角线互相平分．
(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除． [答案] (1)平行四边形的对角线互相平分大前提 菱形是平行四边形小前提 菱形的对角线互相平分结论 (2)一切奇数都不能被2整除大前提 75是奇数小前提 75不能被2整除结论
B．小前提错误 D．非以上错误