发布时间 : 星期二 文章数据结构c++王红梅版课后答案更新完毕开始阅读
运算 B 将树、森林按二叉树的存储方式进行存储并利用二叉树的算法解决树的有关问题 C 将树、森林转换成二叉树 D 体现一种技巧，没有什么实际意义 【解答】B 3. 判断题
⑴ 在线索二叉树中，任一结点均有指向其前趋和后继的线索。 【解答】错。某结点是否有前驱或后继的线索，取决于该结点的标志域是否为1。 ⑵ 在二叉树的前序遍历序列中，任意一个结点均处在其子女的前面。 【解答】对。由前序遍历的操作定义可知。
⑶ 二叉树是度为2的树。 【解答】错。二叉树和树是两种不同的树结构，例如，左斜树是一棵二叉树，但它的度为1。 ⑷ 由树转换成二叉树，其根结点的右子树总是空的。 【解答】对。因为根结点无兄弟结点。 ⑸ 用一维数组存储二叉树时，总是以前序遍历存储结点。 【解答】错。二叉树的顺序存储结构是按层序存储的，一般适合存储完全二叉树。 4．证明：对任一满二叉树，其分枝数B＝2(n0-1) 。（其中，n0为终端结点数）
【解答】因为在满二叉树中没有度为1的结点，所以有： n=n0+n2 设B为树中分枝数，则 n=B+1 所以 B=n0 +n2-1 再由二叉树性质： n0=n2+1 代入上式有： B=n0+n0-1-1=2(n0-1) 5．证明：已知一棵二叉树的前序序列和中序序列，则可唯一确定该二叉树。 【解答】证明采用归纳法。 设二叉树的前序遍历序列为a1a2a3… an，中序遍历序列为b1b2b3… bn。 当n=1时，前序遍历序列为a1，中序遍历序列为b1，二叉树只有一个根结点，所以，a1= b1，可以唯一确定该二叉树； 假设当n<=k时，前序遍历序列a1a2a3… ak和中序遍历序列b1b2b3… bk可唯一确定该二叉树，下面证明当n=k+1时，前序遍历序列a1a2a3… akak+1和中序遍历序列b1b2b3… bk bk+1可唯一确定一棵二叉树。 在前序遍历序列中第一个访问的一定是根结点，即二叉树的根结点是a1，在中序遍历序列中查找值为a1的结点，假设为bi，则a1=bi且b1b2… bi-1是对根结点a1的左子树进行中序遍历的结果，前序遍历序列a2a3… ai是对根结点a1的左子树进行前序遍历的结果，由归纳假设，前序遍历序列a2a3… ai和中序遍历序列b1b2… bi-1唯一确定了根结点的左子树，同样可证前序遍历序列ai+1ai+2… ak+1和中序遍历序列bi+1bi+2… bk+1唯一确定了根结点的右子树。
6．已知一棵度为m的树中有：n1个度为1的结点，n2个度为2的结点，……，nm个度为m的结点，问该树中共有多少个叶子结点 【解答】设该树的总结点数为n，则 n=n0+n1+n2+……+nm 又： n=分枝数
+1=0×n0+1×n1+2×n2+……+m×nm+1 由上述两式可得： n0= n2+2n3+……+(m-1)nm+1 7．已知二叉树的中序和后序序列分别为CBEDAFIGH和CEDBIFHGA，试构造该二叉树。 【解答】二叉树的构造过程如图5-12 所示。 8．对给定的一组权值W＝（5，2，9，11，8，3，7），试构造相应的哈夫曼树，并计算它的带权路径长度。 【解答】构造的哈夫曼树如图5-13所示。
树的带权路径长度为： WPL=2×4+3×4+5×3+7×3+8×3+9×2+11×2 =120
9．已知某字符串S中共有8种字符，各种字符分别出现2次、1次、4次、5次、7次、3次、4次和9次，对该字符串用[0，1]进行前缀编码，问该字符串的编码至少有多少位。 【解答】以各字符出现的次数作为叶子结点的权值构造的哈夫曼编码树如图5-14所示。其带权路径长度=2×5+1×5+3×4+5×3+9×2+4×3+4×3+7×2=98，所以，该字符串的编码长度至少为98位。 10．算法设计
⑴ 设计算法求二叉树的结点个数。 【解答】本算法不是要打印每个结点的值，而是求出结点的个数。所以可将遍历算法中的“访问”操作改为“计数操作”，将结点的数目累加到一个全局变量中，每个结点累加一次即完成了结点个数的求解。 具体算法如下：
⑵ 设计算法按前序次序打印二叉树中的叶子结点。 【解答】本算法的要求与前序遍历算法既有相同之处，又有不同之处。相同之处是打印次序均为前序，不同之处是此处不是打印每个结点的值，而是打印出其中的叶子结点，即为有条件打印。为此，将前序遍历算法中的访问操作改为条件打印即可。算法如下： ⑶ 设计算法求二叉树的深度。 【解答】当二叉树为空时，深度为0；若二叉树不为空，深度应是其左右子树深度的最大值加1，而其左右子树深度的求解又可通过递归调用本算法来完成。具体算法如下：
⑷ 编写算法，要求输出二叉树后序遍历序列的逆序。 【解答】要想得到后序的逆序，只要按照后序遍历相反的顺序即可，即先访问根结点，再遍历根结点的右子树，最后遍历根结点的左子树。注意和前序遍历
的区别，具体算法如下：
⑸ 以二叉链表为存储结构，编写算法求二叉树中结点x的双亲。 【解答】对二叉链表进行遍历，在遍历的过程中查找结点x并记载其双亲。具体算法如下：
⑹ 以二叉链表为存储结构，在二叉树中删除以值x为根结点的子树。 【解答】对二叉链表进行遍历，在遍历的过程中查找结点x并记载其双亲，然后将结点x的双亲结点中指向结点x的指针置空。具体算法如下：
⑺ 一棵具有n个结点的二叉树采用顺序存储结构，编写算法对该二叉树进行前序遍历。 【解答】按照题目要求，设置一个工作栈以完成对该树的非递归算法，思路如下： ① 每访问一个结点，将此结点压栈，查看此结点是否有左子树，若有，访问左子树，重复执行该过程直到左子树为空。 ② 从栈弹出一个结点，如果此结点有右子树，访问右子树执行步骤①，否则重复执行步骤②。 具体算法如下：
⑻ 编写算法交换二叉树中所有结点的左右子树。 【解答】对二叉树进行后序遍历，在遍历过程中访问某结点时交换该结点的左右子树。 具体算法如下：
⑼ 以孩子兄弟表示法做存储结构，求树中结点x的第i个孩子。 【解答】先在链表中进行遍历，在遍历过程中查找值等于x的结点，然后由此结点的最左孩子域firstchild找到值为x结点的第一个孩子，再沿右兄弟域rightsib找到值为x结点的第i个孩子并返回指向这个孩子的指针。 树的孩子兄弟表示法中的结点结构定义如下： template struct TNode { T data; TNode *firstchild, *rightsib; }; 具体算法如下：
学习自测及答案
1．前序遍历和中序遍历结果相同的二叉树是（ ）。 A 根结点无左孩子的二叉树 B 根结点无右孩子的二叉树 C 所有结点只有左子树的二叉树 D 所有结点只有右子树的二叉树 【解答】D
2．由权值为{3, 8, 6, 2, 5}的叶子结点生成一棵哈夫曼树，其带权路径长度为（ ）。 A 24 B 48 C 53 D 72 【解答】C
3．用顺序存储的方法将完全二叉树中的所有结点逐层存放在数组A[1] ~ A[n]中，结点A[i]若有左子树，则左子树的根结点是（ ）。 A A[2i-1] B A[2i+1] C A[i/2] D A[2i] 【解答】D
4．对任何一棵二叉树T，如果其终端结点的个数为n0，度为2的结点个数为n2，则（ ）。 A n0=n2-1 B n0=n2 C n0=n2+1 D 没有规律 【解答】C
5．一棵满二叉树中共有n个结点，其中有m个叶子结点，深度为h，则（ ）。 A n=h+m B h+m=2n C m=h-1 D n=2h-1 【解答】D
6．对于完全二叉树中的任一结点，若其右分支下的子孙的最大层次为h，则其左分支下的子孙的最大层次为（ ）。 A h B h+1 C h或h+1 D 任意 【解答】C
7．假定一棵度为3的树中结点数为50，则其最小高度应为 。 A 3 B 4 C 5 D 6 【解答】C
8．在线索二叉树中，一个结点是叶子结点的充要条件为（ ）。 A 左线索标志为0，右线索标志为1 B 左线索标志为1，右线索标志为0 C 左、右线索标志均为0 D 左、右线索标志均为1 【解答】C 9．对于一棵具有n个结点的树，其所有结点的度之和为（ ）。 【解答】n-1
10．在顺序存储的二叉树中，编号为i和j的两个结点处在同一层的条件是（ ）。 【解答】
11．现有按前序遍历二叉树的结果ABC，问有哪几种不同的二叉树可以得到这一结果 【解答】共有5种二叉树可以得到这一结果，如图5-15所示。
12．试找出分别满足下列条件的所有二叉树： ⑴ 前序序列和中序序列相同。 ⑵ 中序序列和后序序列相
同。 ⑶ 前序序列和后序序列相同。 【解答】 ⑴ 空二叉树、只有一个根结点的二叉树和右斜树。 ⑵ 空二叉树、只有一个根结点的二叉树和左斜树。 ⑶ 空二叉树、只有一个根结点的二叉树 13．将下面图5-16所示的树转换为二叉树，图5-17所示的二叉树转换为树或森林。
【解答】图5-16所示树转换的二叉树如图5-18所示，图5-17所示二叉树转换的森林如图5-19所示。
14．以孩子兄弟表示法作为存储结构，编写算法求树的深度。 【解答】采用递归算法实现。若树为空树，则其深度为0，否则其深度等于第一棵子树的深度+1和兄弟子树的深度中的较大者。具体算法如下： 15．设计算法，判断一棵二叉树是否为完全二叉树。 【解答】根据完全二叉树的定义可知，对完全二叉树按照从上到下、从左到右的次序（即层序）遍历应该满足： ⑴ 若某结点没有左孩子，则其一定没有右孩子； ⑵ 若某结点无右孩子，则其所有后继结点一定无孩子。 若有一结点不满足其中任意一条，则该二叉树就一定不是完全二叉树。因此可采用按层次遍历二叉树的方法依次对每个结点进行判断是否满足上述两个条件。为此，需设两个标志变量BJ和CM，其中BJ表示已扫描过的结点是否均有左右孩子，CM存放局部判断结果及最后的结果。 具体算法如下：
第 6 章图
课后习题讲解
1. 填空题
⑴ 设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（ ）条边，至多有（ ）条边；若G为有向图，则至少有（ ）条边，至多有（ ）条边。 【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1) 【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。 ⑵ 任何连通图的连通分量只有一个，即是（ ）。 【解答】其自身
⑶ 图的存储结构主要有两种，分别是（ ）和（ ）。 【解答】邻接矩阵，邻接表 【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。
⑷ 已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（ ）。 【解答】Ｏ(n+e) 【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。
⑸ 已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（ ）。 【解答】求第j列的所有元素之和
⑹ 有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（ ）。 【解答】出度
⑺ 图的深度优先遍历类似于树的（ ）遍历，它所用到的数据结构是（ ）；图的广度优先遍历类似于树的（ ）遍历，它所用到的数据结构是（ ）。 【解答】前序，栈，层序，队列
⑻ 对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（ ），利用Kruskal算法求最小生成树的时间复杂度为（ ）。 【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e) 【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。
⑼ 如果一个有向图不存在（ ），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。 【解答】回路
（10） 在一个有向图中，若存在弧、、，则在其拓扑序列中，顶点vi, vj, vk的相对次序为（ ）。 【解答】
vi, vj, vk 【分析】对由顶点vi, vj, vk组成的图进行拓扑排序。
2. 选择题
⑴ 在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的（ ）倍。 A 1/2 B 1 C 2 D 4 【解答】C 【分析】设无向图中含有n个顶点e条边，则 。
⑵ n个顶点的强连通图至少有（ ）条边，其形状是（ ）。 A n B n+1 C n-1 D n×(n-1) E 无回路 F 有回路 G 环状 H 树状 【解答】A，G
⑶ 含n 个顶点的连通图中的任意一条简单路径，其长度不可能超过（ ）。 A 1 B n/2 C n-1 D n 【解答】C
【分析】若超过n-1，则路径中必存在重复的顶点。
⑷ 对于一个具有n个顶点的无向图，若采用邻接矩阵存储，则该矩阵的大小是（ ）。 A n B (n-1)2 C n-1 D n2 【解答】D
⑸ 图的生成树（ ），n个顶点的生成树有（ ）条边。 A 唯一 B 不唯一 C 唯一性不能确定 D n E n +1 F n-1 【解答】C，F
⑹ 设无向图G=(V, E)和G' =(V', E' )，如果G' 是G的生成树，则下面的说法中错误的是（ ）。 A G' 为 G的子图 B G' 为 G的连通分量
C G' 为G的极小连通子图且V = V' D G' 是G的一个无环子图 【解答】B 【分析】连通分量是无向图的极大连通子图，其中极大的含义是将依附于连通分量中顶点的所有边都加上，所以，连通分量中可能存在回路。 ⑺ G是一个非连通无向图，共有28条边，则该图至少有（ ）个顶点。 A 6 B 7 C 8 D 9 【解答】D 【分析】n个顶点的无向图中，边数e≤n(n-1)/2，将e=28代入，有n≥8，现已知无向图非连通，则n=9。
⑻ 最小生成树指的是（ ） 。 A 由连通网所得到的边数最少的生成树 B 由连通网所得到的顶点数相对较少的生成树 C 连通网中所有生成树中权值之和为最小的生成树 D 连通网的极小连通子图 【解答】C
⑼ 判定一个有向图是否存在回路除了可以利用拓扑排序方法外，还可以用（ ）。 A 求关键路径的方法 B 求最短路径的方法 C 广度优先遍历算法 D 深度优先遍历算法 【解答】D 【分析】当有向图中无回路时，从某顶点出发进行深度优先遍历时，出栈的顺序（退出DFSTraverse算法）即为逆向的拓扑序列。 ⑽ 下面关于工程计划的AOE网的叙述中，不正确的是（ ）
A 关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间 B 任何一个关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成 C 所有的关键活动都提前完成，那么整个工程将会提前完成 D 某些关键活动若提前完成，那么整个工程将会提前完 【解答】B 【分析】AOE网中的关键路径可能不止一条，如果某一个关键活动提前完成，还不能提前整个工程，而必须同时提高在几条关键路径上的关键活动。 3. 判断题
⑴ 一个有向图的邻接表和逆邻接表中的结点个数一定相等。 【解答】对。邻接表和逆邻接表的区别仅在于出边和入边，边表中的结点个数都等于有向图中边的个数。 ⑵ 用邻接矩阵存储图，所占用的存储空间大小只与图中顶点个数有关，而与图的边数无关。 【解答】对。邻接矩阵的空间复杂度为Ｏ(n2)，与边的个数无关。 ⑶ 图G的生成树是该图的一个极小连通子图 【解答】错。必须包含全部顶点。 ⑷ 无向图的邻接矩阵一定是对称的，有向图的邻接矩阵一定是不对称的 【解答】错。有向图的邻接矩阵不一定对称，例如有向完全图的邻接矩阵就是对称的。 ⑸ 对任意一个图，从某顶点出发进行一次深度优先或广度优先遍历，可访问图的所有顶点。 【解答】错。只有连通图从某顶点出发进行一次遍历，可访问图的所有顶点。 ⑹ 在一个有向图的拓扑序列中，若顶点a在顶点b之前，则图中必有一条弧。 【解答】错。只能说明从顶点a到顶点b有一条路径。 ⑺ 若一个有向图的邻接矩阵中对角线以下元素均为零，则该图的拓扑序列必定存在。 【解答】对。参见第11题的证明。 ⑻ 在AOE网中一定只有一条关键路径 【解答】错。AOE网中可能有不止一条关键路径，他们的路径长度相同。
4．n个顶点的无向图，采用邻接表存储，回答下列问题 ⑴ 图中有多少条边 ⑵ 任意两个顶点i和j是否有边相连 ⑶ 任意一个顶点的度是多少
【解答】 ⑴ 边表中的结点个数之和除以2。 ⑵ 第i个边表中是否含有结点j。 ⑶ 该顶点所对应的边表中所含结点个数。
5．n个顶点的无向图，采用邻接矩阵存储，回答下列问题： ⑴ 图中有多少条边 ⑵ 任意两个顶点i和j是否有边相连 ⑶ 任意一个顶点的度是多少 【解答】 ⑴ 邻接矩阵中非零元素个数的总和除以2。 ⑵ 当邻接矩阵A中A[i][j]=1（或A[j][i]=1）时，表示两顶点之间有边相连。 ⑶ 计算邻接矩阵上该顶点对应的行上非零元素的个数。