发布时间 : 星期一 文章一元二次方程应用题经典题型汇总含答案更新完毕开始阅读
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答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游.
说明 求解本题要时刻注意对话框中的数量关系,求得的解还要注意分类讨论,从中找出符合题意的结论.
八、等积变形
例8 将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)
(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. (2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.
以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.
解 都能.(1)设小路宽为x,则18x+16x-x2=×18×15,即x2-34x+180=0,
解这个方程,得x=,即x≈6.6.
(2)设扇形半径为r,则3.14r2=×18×15,即r2≈57.32,所以r≈7.6.
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说
明 等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式;其原则是形变积不变;或形变积也变,但重量不变,等等.
九、动态几何问题
例9 如图4所示,在△ABC中,∠C=90?/SPAN>,AC=6cm,BC=8cm,点P从点
A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速
度移动.
(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.
解 因为∠C=90?/SPAN>,所以AB=
=
=10(cm).
(1)设xs后,可使△PCQ的面积为8cm2,所以 AP=xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm.
则根据题意,得4.
·(6-x)·2x=8.整理,得x2-6x+8=0,解这个方程,得x1=2,x2=
所以P、Q同时出发,2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. (2)设点P出发x秒后,△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.
则根据题意,得
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(6-x)·2x=×
×6×8.整理,得x2-6x+12=0.
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由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. 说明 本题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的知识,求解时必须依据路程=速度×时间.
十、梯子问题
例10 一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m. (1)若梯子的顶端下滑1m,求梯子的底端水平滑动多少米? (2)若梯子的底端水平向外滑动1m,梯子的顶端滑动多少米?
(3)如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米?
解 依题意,梯子的顶端距墙角
=8(m).
(1)若梯子顶端下滑1m,则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm. 则根据勾股定理,列方程72+(6+x)2=102,整理,得x2+12x-15=0, 解这个方程,得x1≈1.14,x2≈-13.14(舍去), 所以梯子顶端下滑1m,底端水平滑动约1.14m.
(2)当梯子底端水平向外滑动1m时,设梯子顶端向下滑动xm. 则根据勾股定理,列方程(8-x)2+(6+1)2=100.整理,得x2-16x+13=0. 解这个方程,得x1≈0.86,x2≈15.14(舍去).
所以若梯子底端水平向外滑动1m,则顶端下滑约0.86m. (3)设梯子顶端向下滑动xm时,底端向外也滑动xm.
则根据勾股定理,列方程 (8-x)2+(6+x)2=102,整理,得2x2-4x=0, 解这个方程,得x1=0(舍去),x2=2.
所以梯子顶端向下滑动2m时,底端向外也滑动2m.
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说明 求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形.
十一、航海问题
例11 如图5所示,我海军基地位于A处,在其正南方向200
海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向,一艘军舰从
A出发,经B到C匀速巡航.一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲
将一批物品送往军舰.
(1)小岛D和小岛F相距多少海里?
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(精确到0.1海里)
解(1)F位于D的正南方向,则DF⊥BC.因为AB⊥BC,D为AC的中点,所以DF=
AB=100海里,所以,小岛D与小岛F相距100海里.
(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=
AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
在Rt△DEF中,根据勾股定理可得方程x2=1002+(300-2x)2,整理,得3x2-1200x+100000=0.
解这个方程,得x1=200-
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≈118.4,x2=200+(不合题意,舍去).