发布时间 : 星期六 文章【解析】河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(理)试题更新完毕开始阅读
（2）设p?2，l1，l2是两条互相垂直，且均经过点F直线，l1与抛物线?交于点A，B，
uuuruuuruuuruuuruuurl2与抛物线?交于点C，D，若点G满足4FG?FA?FB?FC?FD，求点G的轨迹方程.
【答案】（1）最大值为2；（2）y2?x?3 【分析】
（1）求得A的坐标，设出过A的直线为y＝k（x?别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；
p），k＝tanα，联立抛物线方程，运用判2（2）求得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程． 【详解】（1）A是点F(pp,0)关于顶点O的对称点，可得A(?,0)， 22p设过A的直线为y?k(x?)，k?tan?，
2k2p2?0， 联立抛物线方程可得kx?(kp?2p)x?4222的2由直线和抛物线相切可得??(kp?2p)?kp?0，解得k??1， 可取k?1，可得切线的倾斜角为45°，
2242|PA|11??由抛物线的定义可得，而?的最小值为45°， ?|PF|sin(90??)cos?|PA|的最大值为2； |PF|2（2）由y?4x，可得F(1,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，D(x4,y4)，G(x,y)，
2222设l1:y?k(x?1)，联立抛物线y?4x，可得kx?(2k?4)x?k?0，
44y?y?k(x?x)?2k?，， 12122kk1由两直线垂直的条件，可将k换为?，可得x3?x4?2?4k2，y3?y4??4k，
kuuuruuuruuuruuuruuur点G满足4FG?FA?FB?FC?FD，可得
即有x1?x2?2?4(x?1,y)?(x1?x2?x3?x4?4,y1?y2?y3?y4)，
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2即为4x?x1?x2?x3?x4?4k?444y?y?y?y?y??4k??4，， 1234kk212122可得y?(k?)?k?2?2?x?3，则G的轨迹方程为y2?x?3.
kk【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．
22.设a,b?R，|a|?1.已知函数f(x)?x3?6x2?3a(a?4)x?b，g(x)?exf(x). （Ⅰ）求f(x)的单调区间；
x（Ⅱ）已知函数y?g(x)和y?e的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，
（i）求证：f(x)在x?x0处的导数等于0；
（ii）若关于x不等式g(x)?ex在区间[x0?1,x0?1]上恒成立，求b的取值范围. 【答案】（I）单调递增区间为(??,a)，(4?a,??)，单调递减区间为(a,4?a).（II）（i）见解+析.（ii）[?7,1].
试题分析：求导数后因式分解根据a?1，得出a?4?a，根据导数的符号判断函数的单
x调性，给出单调区间，对g(x)求导，根据函数y?g(x)和y?e的图象在公共点（x0，y0）
处有相同的切线，解得f?(x0)?0，根据f(x)的单调性可知f(x)?f(a)?1在[a?1,a?1]上恒成立，关于x的不等式g(x)?ex在区间[x0?1,x0?1]上恒成立，得出
f(a)?a3?6a2?3a(a?4)a?b?1，得b?2a3?6a2?1，?1?a?1，
求出f(a)的范围，得出b的范围.
3试题详细分析：（I）由f?x??x?6x?3a?a?4?x?b，可得
2f'?x??3x2?12x?3a?a?4??3?x?a??x??4?a??，
的22
令f'?x??0，解得x?a，或x?4?a.由a?1，得a?4?a. 当x变化时，f'?x?，f?x?的变化情况如下表：
x ???,a? ? ?a,4?a? - ?4?a,??? ? f'?x? f?x?
Z ] Z 所以，f?x?的单调递增区间为???,a?，?4?a,???，单调递减区间为?a,4?a?.
x0?gx?e???0x（II）（i）因为g'?x??e?f?x??f'?x??，由题意知?x0，
g'x?e???0???f?x0??1f?x0?ex0?ex0??所以?x0，解得. ?x0efx?f'x?ef'x?0?0??????0????0?所以，f?x?在x?x0处的导数等于0.
（ii）因为g?x??e，x?x0?1,x0?1，由ex?0，可得f?x??1.
x??又因为f?x0??1，f'?x0??0，故x0为f?x?的极大值点，由（I）知x0?a. 另一方面，由于a?1，故a?1?4?a，
由（I）知f?x?在?a?1,a?内单调递增，在?a,a?1?内单调递减，
x故当x0?a时，f?x??f?a??1在a?1,a?1上恒成立，从而g?x??e在
???x0?1,x0?1?上恒成立.
由f?a??a?6a?3a?a?4?a?b?1，得b?2a3?6a2?1，?1?a?1.
32令t?x??2x?6x?1，x??1,1，所以t'?x??6x?12x，
322??令t'?x??0，解得x?2（舍去），或x?0.
因为t??1???7，t?1???3，t?0??1，故t?x?的值域为?7,1. 所以，b取值范围是?7,1.
????【考点】导数的应用
【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调
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性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.
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