发布时间 : 星期六 文章【解析】河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(理)试题更新完毕开始阅读
因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD， 所以A'和B关于平面CDG对称，
在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过
O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F， 则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1， 因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F， 即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R?∴A'F?5，
R2?OF2?5?1?2，
所以，BF＝2，
所以四边形A'DBF为菱形，
又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形， ∴OE?R2?DE2?5?1?2，
∴三角形A'DF为等边三角形， ∴∠A'DF??32?故∠A'DB?，
32?故填：．
3，
【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．
16.设定义在D上的函数y?h(x)在点P(x0,h(x0))处的切线方程为l:y?g(x)，当x?x0 13
h(x)?g(x)?0在D内恒成立，则称P点为函数y?h(x)的“类对称中心点”，则函时，若
x?x0x2数f(x)?2?lnx的“类对称中心点”的坐标是________.
2e【答案】(e,) 【分析】
由求导公式求出函数f（x）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y＝g（x），设F（x）＝f（x）﹣g（x），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F（x）的单调性和最值，从而可判断出心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．
32f?x??g?x?x?x0的符号，再由“类对称中
x1x02【详解】解：由题意得，f′（x）?2?，f（x0）?2?lnx0（x＞0），
ex2e即函数y＝f（x）的定义域D＝（0，+∞），
所以函数y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程l方程为：
x01x02y﹣（2?lnx0）＝（2?）（x﹣x0），
ex2e02x01x0则g（x）＝（2?）（x﹣x0）+（2?lnx0），
ex02e2x01xx2设F（x）＝f（x）﹣g（x）?2?lnx﹣[（2?）（x﹣x0）+（02?lnx0）]，
ex02e2e则F（x0）＝0，
所以F′（x）＝f′x）﹣g′（x）?x01x?x011x1??? ???（2）22exx0exex0??x1?x0?x11x?x??x?x????? 00?2?e2xx0xex0??e2当0＜x0＜e时，F（x）在（x0，）上递减，
x0
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f?x??g?x?e2＜0， ∴x∈（x0，）时，F（x）＜F（x0）＝0，此时
x0x?x0e2当x0＞e时，F（x）在（，x0）上递减；
x0f?x??g?x?e2＜0， ∴x∈（，x0）时，F（x）＞F（x0）＝0，此时
x0x?x0∴y＝F（x）在（0，e）∪（e，+∞）上不存在“类对称点”．
21?x1?(x?e)＞0，则F（x）在（0，+∞）上是增函数， 若x0＝e，?x?e??2???2xeexe??当x＞x0时，F（x）＞F（x0）＝0，当x＜x0时，F（x）＜F（x0）＝0， 故
f?x??g?x?x?x0＞0，
即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”，
综上可得，y＝F（x）存在“类对称点”，e是一个“类对称点”的横坐标，
?3?e23fefx又（）?2?lne?，所以函数（）的“类对称中心点”的坐标是?e，?，
?2?2e2故答案为：?e，?．
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．
??3?2?三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.在平面四边形ABCD中，?A??C??，AB?1，BC?3，CD?DA?2. （1）求?C；
（2）若E是BD的中点，求CE. 【答案】（1）C?60o；（2）CE? 【分析】
（1）利用余弦定理进行化简，求出C；（2）利用向量法求出CE．
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19 2【详解】（1）由题设及余弦定理得：BD2?BC2?CD2?2BC?CDcosC?13?12cosC， BD2＝AB2+DA2﹣2AB?DAcosA＝5+4cosC， 所以cosC?1， 2?C?60o；
uuur1uuuruuur（2）由CE?(CD?CB)，得
2uuur21uuur2uuur2uuuruuur111919. CE?(CD?CB?2CD?CB)?(4?9?2?2?3?)?所以CE?42442
【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．
18. 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
【答案】（Ⅰ）见解+析；（Ⅱ）作图见解+析，体积为
试题分析：证明AB?PG.由PA?PB可得G是AB的中点.（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且PA?6，可得DE?2,PE?22.在等腰直角三角形EFP中，可得
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4. 3